Let all the cells of a 100 x 100 board be painted in red and green colors. A cell is called harmonic if it has an equal number of red and green neighbors. What is the maximum possible number of harmonic cells? (Cells are considered neighbors if they share a common side. Write only the number without spaces in the answer.)

Разберем задачу. У каждой клетки может быть 2, 3 или 4 соседа. Гармонической клетка является, если у нее равное количество красных и зеленых соседей. Это возможно только если у клетки четное число соседей, и половина из них красные, а другая половина – зеленые. Рассмотрим случаи: * Если у клетки 2 соседа, то 1 красный и 1 зеленый. * Если у клетки 4 соседа, то 2 красных и 2 зеленых. Чтобы максимизировать количество гармонических клеток, раскрасим доску в шахматном порядке. В этом случае, каждая клетка будет иметь двух соседей одного цвета и двух другого. Значит, все клетки, кроме крайних, будут гармоничными. Теперь посчитаем общее количество клеток: $100 \times 100 = 10000$. Покажем, что все клетки могут быть гармоничными. Раскрасим доску следующим образом: первая строка - чередующиеся красные и зеленые клетки, вторая строка - сдвиг на одну клетку (если первая клетка в первой строке красная, то первая клетка во второй строке - зеленая). И так далее. Тогда каждая клетка будет иметь 2 красных и 2 зеленых соседа (или 1 красный и 1 зеленый, если это угловая клетка). Например: Р З Р З З Р З Р Р З Р З В таком случае все клетки будут гармоничными. Следовательно, максимальное количество гармоничных клеток равно общему количеству клеток, т.е. 10000. Ответ: 10000