Лера взяла кредит в банке с процентной ставкой 20% годовых. Погашение долга будет происходить дифференцированными платежами. На сколько лет взяла кредит Лера, если оказалось, что сумма выплат после полного погашения кредита на 70% больше суммы, взятой в кредит?

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную задачу про кредит. **Задача:** Лера взяла кредит в банке под 20% годовых с дифференцированными платежами. Сумма выплат после полного погашения кредита на 70% больше суммы, взятой в кредит. На сколько лет Лера взяла кредит? **Решение:** Пусть ( S ) – сумма кредита. Сумма выплат после погашения кредита составляет ( 1.7S ), так как она на 70% больше ( S ). Пусть ( n ) – количество лет, на которое взят кредит. Так как платежи дифференцированные, каждый год тело кредита уменьшается на одну и ту же величину, равную ( \frac{S}{n} ). В первый год процентная часть платежа составляет ( 0.2S ), во второй год – ( 0.2(S - \frac{S}{n}) ), в третий год – ( 0.2(S - \frac{2S}{n}) ) и так далее. В последний год процентная часть платежа равна ( 0.2(\frac{S}{n}) ). Сумма всех процентных платежей равна: \[ 0.2S + 0.2(S - \frac{S}{n}) + 0.2(S - \frac{2S}{n}) + \ldots + 0.2(\frac{S}{n}) \] Это арифметическая прогрессия с первым членом ( a_1 = 0.2S ) и разностью ( d = -0.2(\frac{S}{n}) ). Количество членов равно ( n ). Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] В нашем случае: \[ S_n = \frac{n(0.2S + 0.2(\frac{S}{n}))}{2} = \frac{n \cdot 0.2S(1 + \frac{1}{n})}{2} = 0.1nS(1 + \frac{1}{n}) = 0.1S(n + 1) \] Общая сумма выплат равна сумме кредита плюс сумма всех процентных платежей: \[ S + 0.1S(n + 1) = 1.7S \] Разделим обе части уравнения на ( S ): \[ 1 + 0.1(n + 1) = 1.7 \] \[ 0.1(n + 1) = 0.7 \] \[ n + 1 = 7 \] \[ n = 6 \] **Ответ:** Лера взяла кредит на **6 лет**.