9 класс Самостоятельная работа Вариант 1 Тема «Скалярное произведение векторов» 1. Вычислите скалярное произведение векторов а и в, если |a|=2, |b|=3, а угол между ними равен 120°. 2. Вычислите скалярное произведение векторов а и в, если a{3;-2}, b{-2;3}. 3. Вычислите косинус угла между векторами а и ь, если a{3;-4}, b{15;8} 4. При каком значении х вектора а и Б перпендикулярны, если а{2;-3), b{x;-4}.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем эту самостоятельную работу по скалярному произведению векторов. **Задача 1:** Дано: |a| = 2, |b| = 3, угол между векторами α = 120°. Найти: Скалярное произведение a · b. Решение: Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos(α)$$ Подставляем известные значения: $$a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot cos(120°)$$ $$cos(120°) = -\frac{1}{2}$$ $$a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3$$ Ответ: Скалярное произведение векторов a и b равно -3. **Задача 2:** Дано: a{3; -2}, b{-2; 3}. Найти: Скалярное произведение a · b. Решение: Скалярное произведение векторов, заданных координатами, вычисляется по формуле: $$a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$$ Подставляем известные значения: $$a \cdot b = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -6 - 6 = -12$$ Ответ: Скалярное произведение векторов a и b равно -12. **Задача 3:** Дано: a{3; -4}, b{15; 8}. Найти: cos(α), где α - угол между векторами a и b. Решение: Сначала найдем скалярное произведение векторов: $$a \cdot b = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13$$ Теперь найдем модули векторов: $$|a| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|b| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$ Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: $$cos(α) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$ Подставляем известные значения: $$cos(α) = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}$$ Ответ: Косинус угла между векторами a и b равен 13/85. **Задача 4:** Дано: a{2; -3}, b{x; -4}, векторы a и b перпендикулярны. Найти: Значение x. Решение: Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0: $$a \cdot b = 0$$ $$a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 0$$ $$2x + 12 = 0$$ $$2x = -12$$ $$x = -6$$ Ответ: Векторы a и b перпендикулярны при x = -6. **Развёрнутый ответ:** В этой самостоятельной работе мы решали задачи, связанные со скалярным произведением векторов. Важно помнить формулы для вычисления скалярного произведения через модули и угол между векторами, а также через координаты векторов. Не забывайте, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Будьте внимательны при подстановке значений и вычислениях, чтобы избежать ошибок.