8 класс Подготовка КР-5 «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» 1. В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, АС = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B. 2. Найдите катет ВС прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 cm, tg A = rac{1}{4} 3. Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. 5. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и РЕ. Найдите сторону NF, если ЕР = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.

## Решения задач по тригонометрии **Задача 1** В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, AC = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B. Решение: 1. Найдём AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ см 2. Найдём cos C: $cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$ 3. Найдём ctg B: $ctg B = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ Ответ: 1) cos C = 0.6; 2) ctg B = 1\frac{1}{3} **Задача 2** Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 cm, tg A = \frac{1}{4} Решение: 1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC): $tg A = \frac{BC}{AC}$ 2. Выразим BC из этой формулы: $BC = AC * tg A = 8 * \frac{1}{4} = 2$ см Ответ: BC = 2 см **Задача 3** Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°. Решение: 1. Используем основное тригонометрическое тождество: $cos^2 α + sin^2 α = 1$ $cos^2 42° + sin^2 42° = 1$ 2. Известно, что $sin 30° = \frac{1}{2}$, тогда $sin^2 30° = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ 3. Подставим значения в исходное выражение: $cos^2 42° + sin^2 42° + sin^2 30° = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$ Ответ: 1.25 **Задача 4** Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной равнобедренного треугольника. Половина основания равна 12/2 = 6 см. Высота равна 8 см. 2. Найдём боковую сторону (гипотенузу) по теореме Пифагора: $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см 3. Обозначим угол при основании треугольника как α. 4. Найдём синус угла α: $sin α = \frac{противолежащий\; катет}{гипотенуза} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$ 5. Найдём косинус угла α: $cos α = \frac{прилежащий\; катет}{гипотенуза} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$ 6. Найдём тангенс угла α: $tg α = \frac{противолежащий\; катет}{прилежащий\; катет} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ 7. Найдём котангенс угла α: $ctg α = \frac{прилежащий\; катет}{противолежащий\; катет} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$ Ответ: sin α = 0.8; cos α = 0.6; tg α = 1\frac{1}{3}; ctg α = 0.75 **Задача 5** Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и РЕ. Найдите сторону NF, если ЕР = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник NEP. Найдем NE по теореме Пифагора: $NE = \sqrt{NP^2 - EP^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник FNE. Известно, что ∠F = 60°. Тогда: $sin F = \frac{NE}{NF}$ $NF = \frac{NE}{sin F} = \frac{15}{sin 60°} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 * 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30 * \sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см Ответ: $NF = 10\sqrt{3}$ см