4. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину?

Додекаэдр имеет 30 рёбер. Чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину, нужно чтобы степень каждой вершины была четной. В додекаэдре степень каждой вершины равна 3, то есть нечетная. Чтобы сделать степень каждой вершины четной (равной 4), нужно продублировать половину рёбер, выходящих из каждой вершины. Поскольку из каждой из 20 вершин выходит 3 ребра, нужно добавить $20 * (3/2) = 30$ ребер, чтобы все степени стали четными. То есть нужно пройти каждое из 30 рёбер хотя бы по одному разу. Минимальное число ребер, которое нужно пройти дважды, равно половине количества вершин с нечетной степенью. Так как все 20 вершин имеют нечетную степень (3), нужно пройти $20/2 = 10$ ребер дважды. Однако, так как у нас 30 ребер, то нам нужно пройти хотя бы $rac{30}{2}=15$ ребер, для того, чтобы степени всех вершин стали четными. Чтобы из каждой вершины выходило чётное число рёбер (4), нужно повторить минимум 6 рёбер (10/2). Ответ: 6.