Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если \(\angle AOB = 120^{\circ}\) и MA = 18.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Понимание условия задачи:** Нам дана окружность с центром в точке O. Из точки M, находящейся вне окружности, проведены две касательные MA и MB к этой окружности. Известно, что угол между радиусами OA и OB (то есть \(\angle AOB\)) равен \(120^{\circ}\), а длина касательной MA равна 18. Наша задача - найти длину отрезка AB, соединяющего точки касания. **2. Построение чертежа и анализ:** Представим себе чертеж: окружность с центром O, точка M вне окружности, касательные MA и MB. Соединим точки A и B. Также соединим точки M и O. **3. Ключевые свойства:** * Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, \(\angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ}\). * Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, MA = MB = 18. * Четырехугольник OAMB - это дельтоид, так как диагональ OM является биссектрисой углов \(\angle AMB\) и \(\angle AOB\). **4. Решение:** 1. Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^{\circ}\). Значит, \[\angle AMB = 360^{\circ} - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}.\] 2. Рассмотрим треугольник AOM. Так как OM - биссектриса угла \(\angle AOB\), то \(\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOM (\(\angle OAM = 90^{\circ}\)). Мы знаем MA = 18 и \(\angle AOM = 60^{\circ}\). Найдем OA (радиус окружности) через тангенс угла \(\angle AOM\): \[\tan(\angle AOM) = \frac{MA}{OA} \Rightarrow OA = \frac{MA}{\tan(60^{\circ})} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}.\] 4. Теперь рассмотрим треугольник AOB. Это равнобедренный треугольник, так как OA = OB (радиусы окружности). \(\angle AOB = 120^{\circ}\). Углы при основании AB равны: \[\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}.\] 5. Найдем AB по теореме косинусов в треугольнике AOB: \[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \cdot \cos(120^{\circ}).\] Поскольку \(\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}\), то \[AB^2 = 108 + 108 - 2 \cdot 108 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 216 + 108 = 324.\] Следовательно, \[AB = \sqrt{324} = 18.\] **5. Ответ:** Расстояние между точками касания A и B равно 18. **Итоговый ответ:** AB = 18 **Развернутый ответ для школьника:** Представь себе окружность и точку снаружи. Если ты проведешь линии из этой точки к окружности так, чтобы они только касались её, то получится две одинаковые линии (MA и MB). Если соединить точки, где эти линии касаются окружности (точки A и B), то получится отрезок, длину которого нам нужно найти. Мы выяснили, что углы между касательными и радиусами равны 90 градусов. Зная угол AOB и длины касательных, мы смогли найти радиус окружности. Затем мы использовали теорему косинусов, чтобы найти длину отрезка AB. В итоге мы получили, что расстояние между точками касания A и B равно 18.