138. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,7. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,5. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что: a) А. выиграет оба раза; б) А. выиграет только одну партию из двух; в) А. выиграет хотя бы одну из партий.

Решение: a) Вероятность того, что А выиграет оба раза, означает, что он выиграл и первую партию, и вторую. В первой партии А играет белыми, во второй - черными. Таким образом: $$P(\text{выиграет оба раза}) = P(\text{выиграет белыми}) \cdot P(\text{выиграет черными}) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35$$ б) Вероятность того, что А выиграет только одну партию из двух, означает, что он выиграл одну партию и проиграл другую. Возможны два случая: он выиграл первую партию (белыми) и проиграл вторую (черными) или он проиграл первую партию (белыми) и выиграл вторую (черными). $$P(\text{выиграл белыми и проиграл черными}) = 0.7 \cdot (1 - 0.5) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35$$ $$P(\text{проиграл белыми и выиграл черными}) = (1 - 0.7) \cdot 0.5 = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15$$ Тогда: $$P(\text{выиграет только одну партию}) = 0.35 + 0.15 = 0.5$$ в) Вероятность того, что А выиграет хотя бы одну из партий, можно найти как вероятность противоположного события, то есть что А проиграет обе партии. Вероятность того, что А проиграет обе партии, равна: $$P(\text{проиграет белыми}) = 1 - 0.7 = 0.3$$ $$P(\text{проиграет черными}) = 1 - 0.5 = 0.5$$ $$P(\text{проиграет оба раза}) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15$$ Тогда вероятность того, что А выиграет хотя бы одну партию, равна: $$P(\text{выиграет хотя бы одну партию}) = 1 - P(\text{проиграет оба раза}) = 1 - 0.15 = 0.85$$ Ответ: а) 0.35 б) 0.5 в) 0.85