Домашнее задание: 1. Через середину отрезка AB проведена прямая *a*. Из точек A и B к прямой *a* проведены перпендикуляры AC и BD. Докажите, что AC = BD. 2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 8, а BC = 16.

Разберем решение задач. Задача 1: Дано: Отрезок AB, прямая *a* – серединный перпендикуляр к AB, AC ⊥ *a*, BD ⊥ *a*. Доказать: AC = BD. Решение: 1. Пусть O – точка пересечения AB и *a*. Так как *a* – серединный перпендикуляр к AB, то AO = OB. 2. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. В них: * AO = OB (по условию) * ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные) * ∠ACO = ∠BDO = 90° (по условию) 3. Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AC = BD, что и требовалось доказать. Задача 2: Дано: Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), CD – высота, DB = 8, BC = 16. Найти: ∠A. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. 2. Выразим косинус угла B: $cos(B) = \frac{DB}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ 3. Следовательно, угол B равен 60°, так как $cos(60°) = \frac{1}{2}$. 4. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°. Ответ: ∠A = 30°. Разъяснение для ученика: Задача 1: В этой задаче мы использовали признаки равенства треугольников, чтобы доказать, что два отрезка равны. Важно помнить, что если два треугольника равны, то и все их соответствующие элементы (стороны и углы) также равны. Задача 2: В этой задаче мы использовали определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике и знание значения косинуса для угла 60°. Также пригодилось знание о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике.