Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника).

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами докажем одно очень важное и полезное свойство равнобедренного треугольника. **Теорема:** В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. **Доказательство:** Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = AC \), и \( BD \) - биссектриса угла \( B \). Нам нужно доказать, что \( BD \) также является медианой (то есть делит сторону \( AC \) пополам) и высотой (то есть перпендикулярна стороне \( AC \)). 1. **Биссектриса:** Так как \( BD \) - биссектриса, то \( \angle ABD = \angle CBD \). 2. **Рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CBD \):** * \( AB = BC \) (по условию, треугольник равнобедренный) * \( \angle ABD = \angle CBD \) (по условию, \( BD \) - биссектриса) * \( BD \) - общая сторона 3. **Признак равенства треугольников:** По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( ABD \) и \( CBD \) равны. * \( \triangle ABD = \triangle CBD \) 4. **Равенство сторон и углов:** Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы также равны. * \( AD = CD \) (следовательно, \( BD \) - медиана, так как делит сторону \( AC \) пополам) * \( \angle ADB = \angle CDB \) 5. **Высота:** Так как \( \angle ADB = \angle CDB \), и эти два угла смежные, а в сумме смежные углы дают 180 градусов, то: * \( \angle ADB + \angle CDB = 180^\circ \) * \( 2 \cdot \angle ADB = 180^\circ \) * \( \angle ADB = 90^\circ \) Значит, \( BD \) перпендикулярна \( AC \), а следовательно, \( BD \) - высота. **Вывод:** Мы доказали, что биссектриса \( BD \), проведенная к основанию \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \), является также медианой и высотой. Что и требовалось доказать. Надеюсь, это объяснение было понятным. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!