6. Докажите, что на рисунке прямые АВ и KN параллельны, если треугольник АВК – равнобедренный с основанием ВК, а луч КВ является биссектрисой угла AKN.

Доказательство: Дано: 1. \(\triangle ABK\) - равнобедренный с основанием BK. 2. KB - биссектриса \(\angle AKN\). Доказать: AB || KN. Доказательство: 1. Так как \(\triangle ABK\) - равнобедренный с основанием BK, то углы при основании равны: \(\angle ABK = \angle AKB\). 2. По условию KB - биссектриса \(\angle AKN\), следовательно, она делит угол AKN пополам: \(\angle AKB = \angle BKN\). 3. Из пунктов 1 и 2 следует: \(\angle ABK = \angle AKB = \angle BKN\). 4. Рассмотрим прямые AB и KN, секущую AK. Углы \(\angle BAK\) и \(\angle AKN\) - внутренние накрест лежащие углы. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Из пунктов 2 и 3 получаем, что \(\angle AKN=2\angle BKN = 2\angle ABK\). 5. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то в \(\triangle ABK\) \(\angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = 180^{\circ}\). Из этого следует, что \(\angle BAK = 180^{\circ} - \angle ABK - \angle AKB = 180^{\circ} - 2\angle ABK\). 6. Докажем, что \(\angle BAK = \angle AKN\). Подставим выражения из пунктов 4 и 5: \(180^{\circ} - 2\angle ABK = 2\angle AKB\). Это неверно, поэтому прямые AB и KN не параллельны. Альтернативное доказательство: 1. \(\angle ABK = \angle AKB\) (углы при основании равнобедренного треугольника). 2. \(\angle AKB = \angle BKN\) (KB - биссектриса угла AKN). 3. \(\angle ABK = \angle BKN\) (из 1 и 2). 4. \(\angle ABK\) и \(\angle BKN\) - внутренние накрест лежащие углы при прямых AB и KN и секущей BK. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые AB и KN параллельны. 5. Следовательно, AB || KN. Что и требовалось доказать. **Ответ:** Если треугольник ABK равнобедренный с основанием BK, а луч KB является биссектрисой угла AKN, то прямые AB и KN параллельны.