Докажите, что функция: f(x)=7/(x-5) убывает на промежутке (5; +∞).

Ответ:

\[f(x) = \frac{7}{x - 5} \Longrightarrow убывает\ \]

\[на\ (5;\ + \infty).\]

\[Пусть\ \ 5 < x_{1} < x_{2},\ тогда\ \ \]

\[f\left( x_{2} \right) - f\left( x_{1} \right) =\]

\[= \frac{7}{x_{2} - 5} - \frac{7}{x_{1} - 5} =\]

\[= \frac{7x_{1} - 35 - 7x_{2} + 35}{\left( x_{2} - 5 \right)\left( x_{1} - 5 \right)} =\]

\[= \frac{7 \cdot \left( x_{1} - x_{2} \right)}{\left( x_{2} - 5 \right)\left( x_{1} - 5 \right)} < 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow поэтому\ функция\ убывает.\]