Докажите, что функция: f(x)=5/(x+2) убывает на промежутке (-2; +∞).

Ответ:

\[f(x) = \frac{5}{x + 2};\ \ \ \ \]

\[убывает\ на\ ( - 2; + \infty)\]

\[Пусть\ \ - 2 < x_{1} < x_{2};\ \ тогда:\]

\[\frac{5}{x_{2} + 2} - \frac{5}{x_{1} + 2} =\]

\[= \frac{5x_{1} + 10 - 5x_{2} - 10}{\left( x_{2} + 2 \right)\left( x_{1} + 2 \right)} =\]

\[= \frac{5 \cdot \left( x_{1} - x_{2} \right)}{\left( x_{2} + 2 \right)\left( x_{1} + 2 \right)} < 0\]

\[то\ есть\ \ x_{1} < x_{2};\ \ \]

\[f\left( x_{2} \right) < f\left( x_{1} \right) \Longrightarrow значит,\ \]

\[убывает.\]