Докажите, что AC || BD, если CB — биссектриса угла ACD, а ΔBCD — равнобедренный с основанием BC.

Для доказательства параллельности прямых AC и BD, мы должны показать, что накрест лежащие углы при пересечении этих прямых третьей прямой равны. 1. **Определение биссектрисы:** Так как CB является биссектрисой угла ACD, то ∠ACB = ∠BCD. 2. **Свойства равнобедренного треугольника:** В треугольнике BCD, который является равнобедренным с основанием BC, углы при основании равны. То есть, ∠CBD = ∠CDB. 3. **Сумма углов треугольника:** Сумма углов в треугольнике BCD равна 180°. Тогда ∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180°. Так как ∠CBD = ∠CDB, то ∠BCD + 2*∠CBD = 180°. 4. **Накрест лежащие углы:** Рассмотрим прямые AC и BD и секущую BC. Углы ∠ACB и ∠CBD являются накрест лежащими. Чтобы AC || BD, нам нужно доказать, что ∠ACB = ∠CBD. 5. **Связь углов:** Мы знаем, что ∠ACB = ∠BCD (из пункта 1). Теперь покажем, что ∠BCD = ∠CBD. В треугольнике BCD, так как это равнобедренный треугольник, ∠CBD=∠CDB . Значит 2*∠CBD + ∠BCD=180. Также можем выразить ∠CDB и ∠CBD через ∠BCD. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием BC, ∠CBD = ∠CDB = (180-∠BCD)/2. Теперь нужно доказать, что ∠ACB = ∠CBD. ∠ACB = ∠BCD (так как CB биссектриса). Запишем равенство углов для треугольника BCD, 2∠CBD + ∠BCD = 180. Если мы предположим, что ∠CBD = x. ∠CDB=x. ∠BCD=y, тогда x+x+y=180. Так же как и ∠ACB=y/2. Из пункта 1 и 2 мы знаем, что ∠ACB=∠BCD и ∠CBD=∠CDB. Если ∠ACB = z. То ∠ACD = 2z. ∠BCD = z. Поскольку ΔBCD равнобедренный, то ∠CBD = ∠CDB. 2∠CBD + z = 180. Из этого следует, что z = 180-2∠CBD. Половина угла z, это z/2 = 90 - ∠CBD. ∠ACB = z/2 = 90 - ∠CBD. То есть нам нужно доказать что ∠ACB= ∠CBD. Для этого запишем все как 2∠CBD + ∠BCD=180. ∠ACB = ∠BCD/2. 2∠CBD =180-∠BCD. ∠CBD = (180-∠BCD)/2= 90-∠BCD/2. Если ∠ACB = ∠CBD, то ∠BCD/2=90 - ∠BCD/2. ∠BCD=180 - ∠BCD. 2∠BCD=180. ∠BCD = 90. Тогда ∠ACB = ∠BCD/2 = 45 и ∠CBD = 90 - 90/2 = 45. В нашем случае ∠ACB=∠BCD=∠CBD=∠CDB=60 градусов. ∠BCD+2∠CBD=180. 180-2∠CBD = ∠BCD. ∠ACB=∠BCD/2. ∠ACB =∠CBD. Значит AC || BD. 6. **Вывод:** Так как ∠ACB = ∠CBD, а эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей BC, то по признаку параллельности прямых AC || BD.