Докажи свойство прямоугольного треугольника. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы докажем свойство прямоугольного треугольника, а именно: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: треугольник ABD, где угол ACB - прямой (90°), BC - высота, AC = CD, угол ABD равен 30°. Доказать: AC = 1/2 AB. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник ABD. Так как BC - высота и AC = CD, то BC является и медианой, и высотой. 2. Следовательно, треугольник ABD - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). 3. Значит, AB = BD. 4. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ACB = 90°. 5. В треугольнике ABD, угол BAD = углу BDA (так как треугольник ABD - равнобедренный). 6. Сумма углов треугольника ABD равна 180°. Следовательно, угол BAD + угол BDA + угол ABD = 180°. 7. Так как угол ABD = 30°, то угол BAD + угол BDA = 180° - 30° = 150°. 8. Значит, угол BAD = угол BDA = 150° / 2 = 75°. 9. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = угол BAD = 75°. 10. Угол ABC = 90° - угол BAC = 90° - 75° = 15°. 11. Угол BAC = 75°, что противоречит условию (катет против угла 30°). Следовательно, необходимо по-другому доказать. Давайте рассмотрим более простое решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°) и предположим, что угол B = 30°. 2. Нам нужно доказать, что AC = 1/2 AB. 3. Продлим сторону AC на расстояние, равное AC, и получим точку D, такую что AC = CD. 4. Рассмотрим треугольник ABD. AC является высотой и медианой в этом треугольнике (так как AC = CD и угол ACB = 90°). 5. Следовательно, треугольник ABD – равнобедренный с AB = BD. 6. Угол ABC = 30° и угол BAC = 90° - 30° = 60°. 7. Так как AC – высота и медиана, она также является биссектрисой угла ABD. Значит, угол ABD = 2 * угол ABC = 2 * 30° = 60°. 8. В треугольнике ABD угол BAD = угол BDA (так как AB = BD). 9. Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°. Угол BAD + угол BDA + угол ABD = 180°. Следовательно, 2 * угол BAD + 60° = 180°. 10. 2 * угол BAD = 180° - 60° = 120°. Угол BAD = 120° / 2 = 60°. 11. Так как все углы треугольника ABD равны 60°, то этот треугольник равносторонний, то есть AB = BD = AD. 12. AD = AC + CD, и так как AC = CD, то AD = 2 * AC. 13. Таким образом, AB = AD = 2 * AC. 14. Следовательно, AC = 1/2 AB. Что и требовалось доказать. **Вывод:** Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.