Докажи, что функция монотонна на всей числовой прямой, и укажи характер монотонности: y = 5x⁹ + 5x⁷ - 3. 1. Запиши производную заданной функции: 2. Укажи, какое выражение можно использовать в доказательстве. 3. Ответь на вопрос задачи (выбери соответствующий знак неравенства и отметь характер монотонности): так как y' ... , то заданная функция ... на всей числовой прямой.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. Наша цель - доказать, что заданная функция (y = 5x^9 + 5x^7 - 3) монотонна на всей числовой прямой, и определить характер её монотонности. 1. Находим производную функции: Чтобы определить монотонность функции, нам нужно найти её производную и исследовать её знак. Исходная функция: (y = 5x^9 + 5x^7 - 3) Применяем правило дифференцирования для каждого члена функции: * Производная (5x^9) равна (5 cdot 9x^{9-1} = 45x^8) * Производная (5x^7) равна (5 cdot 7x^{7-1} = 35x^6) * Производная константы (-3) равна 0 Таким образом, производная функции (y) будет: (y' = 45x^8 + 35x^6) 2. Анализ производной: Теперь нам нужно определить знак производной (y' = 45x^8 + 35x^6). Заметим, что (x^8) и (x^6) всегда неотрицательны, так как это чётные степени переменной (x). То есть, для любого действительного числа (x), (x^8 geq 0) и (x^6 geq 0). Следовательно, (45x^8 geq 0) и (35x^6 geq 0). Тогда, их сумма также будет неотрицательной: (y' = 45x^8 + 35x^6 geq 0) для всех (x in mathbb{R}) Так как (x^{2n} geq 0, x \in R, n \in N) - это верное утверждение, то мы можем его использовать в доказательстве. 3. Вывод о монотонности: Поскольку производная (y') всегда больше или равна нулю на всей числовой прямой, это означает, что функция (y) является неубывающей на всей числовой прямой. Ответ: * (y' = 45x^8 + 35x^6) * Так как (x^{2n} geq 0, x \in R, n \in N) * так как (y' \geq 0), то заданная функция не убывает на всей числовой прямой.