Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть в треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠ A = α, ∠ B = β. Проведём так, что ∠ ACM = α, и докажем, что СМ – медиана и что СМ = 0,5AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = \alpha\) и \(\angle B = \beta\). Проведем медиану \(CM\) к гипотенузе \(AB\). Нам нужно доказать, что \(CM = \frac{1}{2}AB\). 1. **Строим медиану \(CM\)**: По условию, \(\angle ACM = \alpha\). Так как \(\angle A = \alpha\), то треугольник \(AMC\) равнобедренный (углы при основании равны). Следовательно, \(AM = CM\). 2. **Углы треугольника \(ABC\)**: Так как \(\angle C = 90^\circ\), то \(\alpha + \beta = 90^\circ\). 3. **Угол \(BCM\)**: \(\angle BCM = \angle ACB - \angle ACM = 90^\circ - \alpha = \beta\). Следовательно, \(\angle BCM = \beta\). 4. **Треугольник \(BMC\)**: Так как \(\angle B = \beta\) и \(\angle BCM = \beta\), треугольник \(BMC\) тоже равнобедренный. Следовательно, \(BM = CM\). 5. **Сравнение отрезков**: Мы установили, что \(AM = CM\) и \(BM = CM\). Таким образом, \(AM = BM = CM\). 6. **Медиана и гипотенуза**: Так как \(AM = BM\), точка \(M\) является серединой гипотенузы \(AB\). Следовательно, \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\). 7. **Вывод**: Так как \(CM = AM\) и \(AM = \frac{1}{2}AB\), то \(CM = \frac{1}{2}AB\). Таким образом, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. **Развернутый ответ для школьника:** Представь себе прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(C\) прямой. Мы проводим линию из угла \(C\) к середине гипотенузы (самой длинной стороны) \(AB\). Эта линия называется медианой. Наша задача - доказать, что эта медиана равна половине гипотенузы. Мы начинаем с того, что строим эту медиану так, чтобы угол между медианой и одной из сторон (например, \(AC\)) был равен углу при вершине \(A\). Тогда получается, что два треугольника \(AMC\) и \(BMC\) - равнобедренные. Это значит, что стороны \(AM\), \(BM\) и \(CM\) равны друг другу. А так как \(AM\) и \(BM\) вместе составляют гипотенузу \(AB\), и \(AM = BM\), то каждая из них равна половине \(AB\). А так как \(CM\) равна \(AM\) и \(BM\), то она тоже равна половине \(AB\), что и требовалось доказать.