Доказать, что $BC \parallel AD$, если известно, что $AB \parallel CD$, $AM = CK$, $\angle AMB = \angle CKD$ (рис. 270).

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами докажем, что $BC \parallel AD$, используя известные нам данные. **Дано:** * $AB \parallel CD$ * $AM = CK$ * $\angle AMB = \angle CKD$ **Доказать:** * $BC \parallel AD$ **Доказательство:** 1. Так как $AB \parallel CD$, то углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle BAM = \angle DCK$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CKD$. Мы знаем, что: * $AM = CK$ (по условию) * $\angle AMB = \angle CKD$ (по условию) * $\angle BAM = \angle DCK$ (доказано в пункте 1) 3. Следовательно, $\triangle AMB = \triangle CKD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно $MB = KD$. 5. Рассмотрим треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle KCD$. Мы уже знаем, что $AM = CK$ и $MB = KD$. Так же $AB = CD$ так как $AB \parallel CD$. 6. Следовательно, $\triangle MAB = \triangle KCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, а именно $\angle MBA = \angle KDC$. 8. Поскольку $\angle MBA$ и $\angle KDC$ — накрест лежащие углы при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$, а они равны, то $BC \parallel AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$. Что и требовалось доказать.