Доказать, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Для доказательства того, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами, нужно использовать условия, данные в задаче. Дано: 1. AM = CP 2. BN = DQ 3. BM = DP 4. NC = QA Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AM = CP, а M и P лежат на сторонах AB и CD соответственно, то AB = AM + MB и CD = CP + PD. Поскольку BM = DP, то AB - AM = CD - CP, и учитывая, что AM=CP, то AB=CD. Аналогично, поскольку BN=DQ и NC=QA, и BN лежит на BC, а DQ лежит на DA, получаем BC=BN + NC и DA = DQ + QA. Так как NC=QA, то BC=DA. Следовательно, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны (AB=CD и BC=DA). По признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом. Теперь рассмотрим четырехугольник MNPQ. Из равенств BM = DP и AB = CD следует, что AM = CP. Также имеем BN = DQ и BC = DA, из чего следует, что NC = QA. Тогда: 1. MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2 * BM * BN * cos∠B = DP^2 + DQ^2 - 2*DP*DQ*cos∠D = PQ^2, так как ∠B = ∠D (противоположные углы параллелограмма ABCD), и BM = DP и BN = DQ. 2. Аналогично доказывается, что NP = MQ. Таким образом, в четырехугольнике MNPQ также противоположные стороны попарно равны, значит MNPQ является параллелограммом. Следовательно, четырехугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммами.