Даны окружность, точка A, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку M на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

1. Построение:
- Проведем окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка PQ.
- Эта окружность пересечет данную окружность в двух точках.
- Выберем одну из точек пересечения и обозначим её буквой M.
2. Анализ решения:
- Если окружность с центром A пересекает заданную окружность, то задача имеет два решения (две точки M).
- Если окружности касаются, то задача имеет одно решение (одна точка M).
- Если окружности не пересекаются, то задача не имеет решений.
Итак, задача имеет решение, если расстояние между точкой A и центром заданной окружности меньше или равно сумме радиусов двух окружностей и больше или равно модулю разности их радиусов.