Даны два утверждения: 1) система уравнений \[\begin{cases} (k+4)x+3y = k + 1, \\ kx + (k-1)y = k - 1 \end{cases}\] имеет бесконечное множество решений; 2) прямые 5x + 4y = 6 и kx + 6y = 10 пересекаются во второй четверти. Найди все натуральные k, при которых одно из этих утверждений истинно, а другое — ложно. Если таких значений несколько, то в ответе запиши сумму всех парных произведений найденных значений (например, если k равно 1; 8; 10, то сумма произведений равна 1*8 + 1*10 + 8*10 = 98, в ответе нужно указать 98).

Разберем каждое утверждение отдельно. Утверждение 1: Система уравнений имеет бесконечное множество решений, когда коэффициенты пропорциональны, то есть: \[\frac{k+4}{k} = \frac{3}{k-1} = \frac{k+1}{k-1}\] Решим первое равенство: \[\frac{k+4}{k} = \frac{3}{k-1}\] \[(k+4)(k-1) = 3k\] \[k^2 + 3k - 4 = 3k\] \[k^2 - 4 = 0\] \[k = \pm 2\] Теперь проверим второе равенство с полученными значениями k: \[\frac{3}{k-1} = \frac{k+1}{k-1}\] \[3 = k+1\] \[k = 2\] Таким образом, k = 2 подходит. Утверждение 2: Прямые пересекаются во второй четверти. Это означает, что точка пересечения имеет координаты (x, y), где x < 0 и y > 0. Выразим y из каждого уравнения: 1) \[4y = 6 - 5x \Rightarrow y = \frac{6-5x}{4}\] 2) \[6y = 10 - kx \Rightarrow y = \frac{10-kx}{6}\] Приравняем выражения для y: \[\frac{6-5x}{4} = \frac{10-kx}{6}\] \[6(6-5x) = 4(10-kx)\] \[36 - 30x = 40 - 4kx\] \[4kx - 30x = 4\] \[x(4k - 30) = 4\] \[x = \frac{4}{4k - 30} = \frac{2}{2k - 15}\] Теперь найдем y, подставив x в первое уравнение: \[y = \frac{6 - 5x}{4} = \frac{6 - 5(\frac{2}{2k-15})}{4} = \frac{6 - \frac{10}{2k-15}}{4} = \frac{\frac{6(2k-15) - 10}{2k-15}}{4} = \frac{12k - 90 - 10}{4(2k-15)} = \frac{12k - 100}{4(2k-15)} = \frac{3k - 25}{2(2k-15)}\] Для того чтобы точка пересечения находилась во второй четверти, необходимо, чтобы x < 0 и y > 0. 1) x < 0: \[\frac{2}{2k - 15} < 0 \Rightarrow 2k - 15 < 0 \Rightarrow 2k < 15 \Rightarrow k < 7.5\] 2) y > 0: \[\frac{3k - 25}{2(2k - 15)} > 0 \Rightarrow 3k - 25 > 0 \Rightarrow 3k > 25 \Rightarrow k > \frac{25}{3} \approx 8.33\] Итак, мы получили, что k < 7.5 и k > 8.33. Это невозможно одновременно. Следовательно, второе утверждение неверно ни для одного натурального k. Теперь найдем такие натуральные k, чтобы одно утверждение было истинно, а другое ложно. * Утверждение 1 истинно, утверждение 2 ложно: k = 2. В таком случае, у нас только одно значение k = 2, и второго значения нет. Поэтому сумма парных произведений равна 0, так как нет двух разных значений k для образования пары. Ответ: 0