Дана трапеция с периметром 20, в которую вписана окружность. Найдите ее среднюю линию.

Разберем решение этой задачи. 1. Вспомним свойства трапеции, в которую вписана окружность. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В нашем случае, для трапеции ABCD (где AB и CD - боковые стороны, а AD и BC - основания) это означает, что: \[AB + CD = AD + BC\] 2. Вспомним формулу периметра трапеции. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон: \[P = AB + BC + CD + AD\] По условию, периметр равен 20: \[20 = AB + BC + CD + AD\] 3. Используем свойство вписанной окружности для упрощения выражения периметра. Так как \(AB + CD = AD + BC\), то можно заменить \(AB + CD\) на \(AD + BC\) в выражении для периметра: \[20 = (AD + BC) + (AD + BC)\] \[20 = 2(AD + BC)\] 4. Найдем сумму оснований трапеции. Разделим обе части уравнения на 2: \[AD + BC = 10\] 5. Вспомним формулу средней линии трапеции. Средняя линия трапеции (m) равна полусумме ее оснований: \[m = \frac{AD + BC}{2}\] 6. Вычислим среднюю линию трапеции. Подставим значение суммы оснований \(AD + BC = 10\) в формулу для средней линии: \[m = \frac{10}{2}\] \[m = 5\] Ответ: Средняя линия трапеции равна 5. Развёрнутый ответ для школьника: Представь себе трапецию, в которую идеально вписана окружность. Это значит, что окружность касается каждой стороны трапеции изнутри. Раз есть такое свойство, значит, суммы боковых сторон равны суммам оснований. Периметр – это просто сумма всех сторон. Значит, если мы сложим основания и боковые стороны, мы получим 20. Но поскольку суммы боковых сторон и оснований равны, мы можем сказать, что удвоенная сумма оснований равна 20. Если мы разделим это на 2, мы получим сумму оснований, которая равна 10. А средняя линия – это просто половина суммы оснований. Значит, делим 10 на 2 и получаем 5. Вот и всё – средняя линия трапеции равна 5!