Дана сфера и её касательная плоскость. В плоскости находится точка; через неё и центр сферы проведена прямая. Эта прямая образует с касательной плоскостью угол 19°. Радиус данной сферы – R. Вырази через R расстояние данной точки до поверхности сферы. (Промежуточные вычисления и ответ округляй до сотых.) Ответы: расстояние точки до поверхности сферы составляет ____ R.

Пусть $O$ – центр сферы, $A$ – точка в касательной плоскости, $B$ – точка пересечения прямой $OA$ с поверхностью сферы, и $d$ – искомое расстояние от точки $A$ до поверхности сферы. Тогда $OA = R + d$, где $R$ – радиус сферы. Угол между прямой $OA$ и касательной плоскостью равен $19^circ$. Обозначим точку касания сферы и плоскости через $K$. Тогда $OK perp AK$, и треугольник $OKA$ – прямоугольный. Угол $OAK = 19^circ$. Имеем: $\sin(19^circ) = \frac{OK}{OA} = \frac{R}{R + d}$ $R + d = \frac{R}{\sin(19^circ)}$ $d = R \left( \frac{1}{\sin(19^circ)} - 1 \right)$ Используя значение $\sin(19^circ) \approx 0.3256$, получим: $d \approx R \left( \frac{1}{0.3256} - 1 \right) \approx R (3.0712 - 1) \approx 2.0712 R$ Округлим до сотых: $d \approx 2.07 R$. Ответ: расстояние точки до поверхности сферы составляет 2.07 R.