Дана функция $f(x)=|x-3|-|x+3|$. 1) Постройте график функции $y = f(x)$. 2) При каких значениях $k$ уравнение $f(x) = kx$ имеет ровно три решения?

Решение: 1) Построим график функции $f(x) = |x-3| - |x+3|$. Чтобы построить график функции с модулями, рассмотрим различные случаи, раскрывая модули в зависимости от знака подмодульных выражений: * Если $x < -3$, то $x-3 < 0$ и $x+3 < 0$. Тогда $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ и $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Следовательно, $f(x) = (-x+3) - (-x-3) = -x+3+x+3 = 6$. * Если $-3 \le x < 3$, то $x-3 < 0$ и $x+3 \ge 0$. Тогда $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ и $|x+3| = x+3$. Следовательно, $f(x) = (-x+3) - (x+3) = -x+3-x-3 = -2x$. * Если $x \ge 3$, то $x-3 \ge 0$ и $x+3 > 0$. Тогда $|x-3| = x-3$ и $|x+3| = x+3$. Следовательно, $f(x) = (x-3) - (x+3) = x-3-x-3 = -6$. Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} 6, & x < -3 \\ -2x, & -3 \le x < 3 \\ -6, & x \ge 3 \end{cases}$ Теперь мы можем построить график этой функции. 2) Решим уравнение $f(x) = kx$. Чтобы уравнение $f(x) = kx$ имело ровно три решения, прямая $y = kx$ должна пересекать график функции $f(x)$ в трех точках. Рассмотрим различные случаи: * Если $x < -3$, то $f(x) = 6$. Уравнение принимает вид $6 = kx$, то есть $x = \frac{6}{k}$. Так как $x < -3$, то $\frac{6}{k} < -3$, откуда $k > -2$. (k < 0) * Если $-3 \le x < 3$, то $f(x) = -2x$. Уравнение принимает вид $-2x = kx$, то есть $(-2-k)x = 0$. Это выполняется при $x = 0$ или $k = -2$. * Если $x \ge 3$, то $f(x) = -6$. Уравнение принимает вид $-6 = kx$, то есть $x = -\frac{6}{k}$. Так как $x \ge 3$, то $-\frac{6}{k} \ge 3$, откуда $k \le -2$ (k < 0). K = -2 будет при x = 3. Прямая $y=kx$ должна проходить через точку $(-3; 6)$ или $(3; -6)$. Подставим $(-3; 6)$ в $y = kx$: $6 = k(-3)$, откуда $k = -2$. Подставим $(3; -6)$ в $y = kx$: $-6 = k(3)$, откуда $k = -2$. При $k = -2$ прямая $y = -2x$ совпадает с графиком $f(x)$ на участке $[-3, 3]$. Тогда уравнение $f(x) = kx$ имеет бесконечно много решений. Прямая $y = kx$ должна проходить через угол из точки $(-3; 6)$ или $(3; -6)$. Чтобы уравнение $f(x) = kx$ имело ровно три решения, прямая $y = kx$ должна пересекать график функции $f(x)$ в трех точках. Это произойдет, если прямая пройдет через точку (-3; 6) или (3; -6), при этом $k=-2$. Но нам нужно три решения, значит k должно быть больше -2, то есть угол должен быть меньше. Если $k=0$, то $f(x) = 0$, $x=0$ или $x>3$ или $x<-3$. Ответ: $k = -2$