Дана функция ( f(x) = \left| \frac{8}{x+2} - 4 \right| ). 1) Постройте график функции ( y = f(x) ). 2) При каких значениях ( c ) уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение?

Начнем с построения графика функции. 1. Преобразование функции: Сначала рассмотрим функцию ( g(x) = \frac{8}{x+2} - 4 ). Это гипербола с вертикальной асимптотой ( x = -2 ) и горизонтальной асимптотой ( y = -4 ). 2. Построение графика ( g(x) ): - Вертикальная асимптота: ( x = -2 ) - Горизонтальная асимптота: ( y = -4 ) - При ( x = -1 ) ( g(x) = \frac{8}{-1+2} - 4 = 8 - 4 = 4 ) - При ( x = 0 ) ( g(x) = \frac{8}{0+2} - 4 = 4 - 4 = 0 ) - При ( x = -3 ) ( g(x) = \frac{8}{-3+2} - 4 = -8 - 4 = -12 ) - При ( x = -4 ) ( g(x) = \frac{8}{-4+2} - 4 = -4 - 4 = -8 ) 3. Построение графика ( f(x) = |g(x)| ): Функция ( f(x) ) является абсолютным значением функции ( g(x) ), что означает, что все отрицательные значения ( g(x) ) отражаются относительно оси x, чтобы стать положительными. Таким образом, часть графика ( g(x) ), находящаяся ниже оси x, отражается вверх. 4. Анализ графика ( f(x) ): - Вертикальная асимптота остается: ( x = -2 ) - Горизонтальная асимптота меняется: вместо ( y = -4 ) теперь ( y = 4 ), так как отрицательная часть графика отражается. - Точки пересечения с осью x остаются такими же, как и у ( g(x) ). 5. Решение уравнения ( f(x) = c ): Уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная линия ( y = c ) касается графика функции ( f(x) ) только в одной точке. Это происходит в следующих случаях: - Когда ( c = 0 ), линия ( y = 0 ) пересекает график в точке ( x = 0 ). - Когда ( c = 4 ), линия ( y = 4 ) касается графика в точке, где ранее была горизонтальная асимптота ( y = -4 ) функции ( g(x) ). Таким образом, уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение при ( c = 0 ) и ( c = 4 ). Ответ: Уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение при ( c = 0 ) и ( c = 4 ).