1. Дана арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите: а) $a_8$, если $a_1 = 1$, $d = -5$; б) $S_6$, если $a_1 = 15$, $d = 3$; в) число положительных членов, если $a_1 = 65$, $d = -2.3$ 2. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите: а) $b_4$, если $b_1 = -0.25$, $q = 4$; б) $S_5$, если $b_1 = -2$, $q = -2$; в) $b_2$, если $b_1 = -5$, $b_3 = -31.25$

Решение: 1. Дана арифметическая прогрессия ($a_n$): a) Найдем $a_8$, если $a_1 = 1$, $d = -5$. Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. В нашем случае: $a_8 = a_1 + (8-1)d = 1 + 7(-5) = 1 - 35 = -34$. Ответ: $a_8 = -34$ б) Найдем $S_6$, если $a_1 = 15$, $d = 3$. Используем формулу суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} * n$ В нашем случае: $S_6 = \frac{2 * 15 + (6-1)*3}{2} * 6 = \frac{30 + 5*3}{2} * 6 = \frac{30 + 15}{2} * 6 = \frac{45}{2} * 6 = 45 * 3 = 135$. Ответ: $S_6 = 135$ в) Найдем число положительных членов, если $a_1 = 65$, $d = -2.3$. Чтобы найти число положительных членов, нужно найти, при каком $n$ член $a_n$ станет меньше или равен 0. $a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_n = 65 + (n-1)(-2.3) > 0$ $65 - 2.3(n-1) > 0$ $65 - 2.3n + 2.3 > 0$ $67.3 > 2.3n$ $n < \frac{67.3}{2.3} \approx 29.26$ Значит, число положительных членов равно 29. Ответ: 29 2. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$): a) Найдем $b_4$, если $b_1 = -0.25$, $q = 4$. Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 * q^{n-1}$. В нашем случае: $b_4 = b_1 * q^{4-1} = -0.25 * 4^3 = -0.25 * 64 = -16$. Ответ: $b_4 = -16$ б) Найдем $S_5$, если $b_1 = -2$, $q = -2$. Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ В нашем случае: $S_5 = \frac{-2(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{-2(1 - (-32))}{3} = \frac{-2(1 + 32)}{3} = \frac{-2 * 33}{3} = -2 * 11 = -22$. Ответ: $S_5 = -22$ в) Найдем $b_2$, если $b_1 = -5$, $b_3 = -31.25$. В геометрической прогрессии $b_3 = b_1 * q^2$. $-31.25 = -5 * q^2$ $q^2 = \frac{-31.25}{-5} = 6.25$ $q = \pm \sqrt{6.25} = \pm 2.5$ Тогда $b_2 = b_1 * q$. Если $q = 2.5$, то $b_2 = -5 * 2.5 = -12.5$. Если $q = -2.5$, то $b_2 = -5 * (-2.5) = 12.5$. Ответ: $b_2 = -12.5$ или $b_2 = 12.5$