Через точку на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол (в градусах) между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке O. Из точки A на окружности проведены диаметр AB и хорда AC, равная радиусу окружности. Нужно найти угол между диаметром AB и хордой AC, то есть угол \(\angle BAC\). Так как AC равна радиусу, то AO = AC = R. Следовательно, треугольник \(\triangle AOC\) равнобедренный, и углы при основании равны, то есть \(\angle AOC = \angle ACO\). Пусть \(\angle BAC = x\). Тогда \(\angle AOC = 2x\) как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол \(\angle BAC\). В равнобедренном треугольнике \(\triangle AOC\), \(\angle OAC = angle OCA\), поэтому \(\angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 2x)/2 = 90^{\circ} - x\). Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). В нем \(\angle ABC = 90^{\circ}\), так как он опирается на диаметр AB. Угол \(\angle BAC = x\), а угол \(\angle ACB = \angle ACO = 90^{\circ} - x\). Сумма углов в треугольнике \(\triangle ABC\) равна \(180^{\circ}\), поэтому: \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \] \[ x + 90^{\circ} + (90^{\circ} - x) = 180^{\circ} \] Следовательно, \(\angle BAC = 30^{\circ}\). Другое решение: Так как \(\angle AOC = 2\angle ABC\), где \(\angle ABC\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу, что и центральный угол \(\angle AOC\), то \(\angle AOC = 2x\). Так как \(\triangle AOC\) равнобедренный, \(\angle OAC = \angle OCA = (180 - 2x) / 2 = 90 - x\). Сумма углов \(\angle OAC + \angle BAC = \angle OAB = 180^\circ\). Тогда, x+ 90-x= 180^{\circ}\). \[ x + 90^{\circ} - x= 30^{\circ} \] Ответ: **30**