Чему равна сумма чисел от 1 до n? Составь новую прогрессию так, чтобы суммы по вертикали совпадали

Давайте решим эту задачу, используя хитрость, чтобы найти сумму чисел от 1 до n. Идея состоит в том, чтобы написать последовательность чисел от 1 до n, а затем написать ту же последовательность в обратном порядке и сложить их. Пусть S – сумма чисел от 1 до n. Тогда: S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n Теперь напишем ту же сумму в обратном порядке: S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 Сложим эти два уравнения почленно: 2S = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + ... + (n-2+3) + (n-1+2) + (n+1) Заметим, что каждая скобка дает в сумме (n+1), и у нас таких скобок n штук: 2S = n * (n+1) Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти S: S = n * (n+1) / 2 Теперь заполним пропуски в задании. Нам нужно добавить к каждому числу от 1 до n такое число, чтобы сумма по вертикали была одинаковой. Как мы видели, каждое число в сумме с соответствующим числом из обратной последовательности равно (n+1). Значит, мы должны в первой строке записать числа от 1 до n, а во второй строке – числа от n до 1. Заполненная прогрессия будет выглядеть так: S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n + + + + + + n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 Таким образом, в пропусках нужно записать следующие числа: n, n-1, n-2, ..., 3, 2, 1 И окончательно, сумма чисел от 1 до n равна \(\frac{n(n+1)}{2}\).