Частное решение дифференциального уравнения y'' - 2y' + y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y'(0) = 0, равно?

Для решения дифференциального уравнения (y'' - 2y' + y = 0) с начальными условиями (y(0) = 1) и (y'(0) = 0), необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти характеристическое уравнение: Заменим (y'') на (r^2), (y') на (r) и (y) на 1. Получим характеристическое уравнение: [r^2 - 2r + 1 = 0] 2. Решить характеристическое уравнение: Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения или заметить, что это полный квадрат: [(r - 1)^2 = 0] Отсюда получаем один корень: [r = 1] Так как корень один, то он кратный (кратность 2). 3. Записать общее решение дифференциального уравнения: В случае кратного корня общее решение имеет вид: [y(x) = (C_1 + C_2x)e^{rx}] Подставляем найденный корень (r = 1): [y(x) = (C_1 + C_2x)e^{x}] 4. Использовать начальные условия для определения констант (C_1) и (C_2): Первое начальное условие: (y(0) = 1): [y(0) = (C_1 + C_2 cdot 0)e^{0} = C_1 = 1] Таким образом, (C_1 = 1). Теперь найдем первую производную (y'(x)): [y'(x) = C_2e^{x} + (C_1 + C_2x)e^{x}] Подставляем (C_1 = 1): [y'(x) = C_2e^{x} + (1 + C_2x)e^{x}] Второе начальное условие: (y'(0) = 0): [y'(0) = C_2e^{0} + (1 + C_2 cdot 0)e^{0} = C_2 + 1 = 0] Отсюда получаем (C_2 = -1). 5. Записать частное решение дифференциального уравнения: Подставляем найденные константы (C_1 = 1) и (C_2 = -1) в общее решение: [y(x) = (1 - x)e^{x}] Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, равно ((1 - x)e^x). Ответ: (1 - x)e^x