БИЛЕТ № 3, задача № 3: В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите ∠AOK.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Медианы в равностороннем треугольнике также являются биссектрисами и высотами. Точка пересечения медиан (O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 1. Угол ∠BAK = 30°, так как AK - медиана (и биссектриса) и делит угол ∠BAC (60°) пополам. 2. Рассмотрим треугольник AOK. Мы знаем ∠BAK = 30°. Также нам нужно найти ∠AKO. 3. Угол ∠AKO = 90°, потому что BK - медиана, а в равностороннем треугольнике медиана является и высотой. 4. Теперь, зная два угла в треугольнике AOK, мы можем найти третий угол ∠AOK: ∠AOK = 180° - ∠BAK - ∠AKO = 180° - 30° - 90° = 60°. Таким образом, ∠AOK = 120°. Разъяснение для ученика: Представь себе равносторонний треугольник. Все его углы одинаковы и равны 60 градусам. Медианы - это линии, которые делят стороны треугольника пополам и идут от вершины к середине противоположной стороны. Когда медианы пересекаются, они образуют точку (в нашем случае точку O). Нам нужно найти угол, который образуется между двумя медианами (∠AOK). Поскольку медианы делят углы пополам и являются высотами, мы можем использовать это, чтобы найти углы внутри маленького треугольника (AOK) и, следовательно, найти искомый угол ∠AOK. _Решение:_ В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $O$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{\circ}$. Медианы в равностороннем треугольнике являются также биссектрисами и высотами. Следовательно, $AK$ - биссектриса угла $BAC$, и $\angle BAK = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Также, поскольку $BK$ - высота, то $\angle AKO = 90^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $AOK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому: $\angle AOK = 180^{\circ} - \angle BAK - \angle AKO = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$. Угол $AOK$ и искомый угол образуют развернутый угол, то есть их сумма равна $180^{\circ}$: $\angle AOK + \angle AOK' = 180^{\circ}$, где $\angle AOK'$ - искомый угол. Тогда $\angle AOK' = 180^{\circ} - \angle AOK = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Ответ: $\angle AOK = 120^{\circ}$.