Билет 2. 1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании. Най ти угол треугольника, лежащий против основания. 4. На прямой последовательно отмечены точки А,В,С,Д, причем АС=8 см, BD = 6см, ВС=3см. Найти AD.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем вопросы билета 2. **1. Что такое луч? Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Как построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?** * **Луч** - это часть прямой, которая имеет начало (исходную точку), но не имеет конца. * Лучи обозначаются двумя буквами, где первая буква обозначает начало луча, а вторая - любую другую точку на луче, например, луч $OA$. * **Биссектриса угла** - это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. **Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:** 1. Поместите острие циркуля в вершину угла (назовем ее точкой $O$). 2. Проведите дугу, которая пересекает обе стороны угла. Отметьте точки пересечения (назовем их $A$ и $B$). 3. Не меняя радиуса циркуля (или изменив, но одинаково для обоих случаев), поместите острие циркуля сначала в точку $A$, а затем в точку $B$, и проведите две дуги внутри угла. 4. Точка пересечения этих дуг (назовем ее $C$) будет лежать на биссектрисе угла. Соедините точку $O$ и точку $C$ лучом. Луч $OC$ - биссектриса угла $AOB$. **2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.** * **Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам:** Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. **Доказательство:** Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, сторона $AB$ наложилась на равную ей сторону $A_1B_1$, и вершина $C$ оказалась по ту же сторону от $A_1B_1$, что и вершина $C_1$. Тогда, так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, сторона $AC$ наложится на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ наложится на луч $B_1C_1$. Следовательно, вершина $C$ будет лежать как на луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$, а значит, она совпадает с точкой пересечения этих лучей, то есть с вершиной $C_1$. Итак, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ полностью совпадают, а значит, они равны. **3. В равнобедренном треугольнике дан угол при основании. Найти угол треугольника, лежащий против основания.** * В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $\alpha$. Тогда два угла при основании равны $\alpha$. * Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Если два угла при основании равны $\alpha$, то угол, лежащий против основания, равен $180^\circ - 2\alpha$. **Ответ:** Угол, лежащий против основания, равен $180^\circ - 2\alpha$. **4. На прямой последовательно отмечены точки А, В, С, Д, причем АС=8 см, BD = 6см, ВС=3см. Найти AD.** Дано: $AC = 8$ см, $BD = 6$ см, $BC = 3$ см. Нужно найти: $AD$. Решение: 1. Найдем $AB$: $AB = AC - BC = 8 - 3 = 5$ см. 2. Найдем $CD$: $CD = BD - BC = 6 - 3 = 3$ см. 3. Теперь можем найти $AD$: $AD = AB + BC + CD = 5 + 3 + 3 = 11$ см. **Ответ:** $AD = 11$ см.