1) a) Решить уравнение: $2cos2x + 4\sqrt{3}cosx - 7 = 0$ b) $x \in [\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$

a) Решим уравнение: $2cos2x + 4\sqrt{3}cosx - 7 = 0$ Используем формулу двойного угла: $cos2x = 2cos^2x - 1$. Тогда уравнение примет вид: $2(2cos^2x - 1) + 4\sqrt{3}cosx - 7 = 0$ $4cos^2x + 4\sqrt{3}cosx - 9 = 0$ Пусть $t = cosx$, тогда получим квадратное уравнение: $4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (4\sqrt{3})^2 - 4 * 4 * (-9) = 48 + 144 = 192$ $t_{1,2} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{192}}{2 * 4} = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$ $t_1 = \frac{-4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $t_2 = \frac{-4\sqrt{3} - 8\sqrt{3}}{8} = \frac{-12\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ Так как $-1 \le cosx \le 1$, то $t_2$ не подходит. $cosx = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$ b) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ $\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$ $\frac{5}{2} \le \frac{1}{6} + 2k \le 4$ $\frac{5}{2} - \frac{1}{6} \le 2k \le 4 - \frac{1}{6}$ $\frac{15}{6} - \frac{1}{6} \le 2k \le \frac{24}{6} - \frac{1}{6}$ $\frac{14}{6} \le 2k \le \frac{23}{6}$ $\frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12}$ $1\frac{1}{6} \le k \le 1\frac{11}{12}$ $k = 1$ $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ $\frac{5\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$ $\frac{5}{2} \le -\frac{1}{6} + 2k \le 4$ $\frac{5}{2} + \frac{1}{6} \le 2k \le 4 + \frac{1}{6}$ $\frac{15}{6} + \frac{1}{6} \le 2k \le \frac{24}{6} + \frac{1}{6}$ $\frac{16}{6} \le 2k \le \frac{25}{6}$ $\frac{8}{6} \le k \le \frac{25}{12}$ $1\frac{2}{6} \le k \le 2\frac{1}{12}$ $k = 2$ $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$ Ответ: $x = \frac{13\pi}{6}, x = \frac{23\pi}{6}$