698. Изобразив схематически графики уравнений выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: в) $$\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ xy = 3. \end{cases}$$

Для решения этой задачи, как и в предыдущей, надо схематично нарисовать графики уравнений и посмотреть, сколько у них точек пересечения. 1. **Первое уравнение:** $y = x^2 + 1$. Это парабола, которая получается из обычной параболы $y = x^2$ сдвигом на 1 вверх по оси y. Вершина параболы находится в точке (0, 1). 2. **Второе уравнение:** $xy = 3$. Это гипербола. Её можно переписать как $y = \frac{3}{x}$. График гиперболы состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем квадрантах. Теперь рассмотрим, как эти графики могут пересекаться. Парабола $y = x^2 + 1$ всегда находится выше оси x (так как $y \geq 1$). Гипербола $y = \frac{3}{x}$ имеет одну ветвь в первом квадранте (где x > 0 и y > 0) и другую в третьем квадранте (где x < 0 и y < 0). Так как парабола находится только в верхней полуплоскости, нас интересует только ветвь гиперболы в первом квадранте. Схематично изобразив эти графики, можно увидеть, что ветвь гиперболы в первом квадранте пересекает параболу в двух точках. Для большей уверенности можно подставить $y = \frac{3}{x}$ в первое уравнение: $\frac{3}{x} = x^2 + 1$. Умножаем обе части на x: $3 = x^3 + x$, или $x^3 + x - 3 = 0$. Это кубическое уравнение. Аналитически решить его сложно, но для нашей задачи достаточно понять, сколько у него действительных корней. График функции $f(x) = x^3 + x - 3$ пересекает ось x один раз (это можно увидеть, например, построив график функции или проанализировав её производную). Значит, уравнение имеет только один действительный корень. Однако, так как мы делаем схематический анализ, могли допустить неточность. Давайте посмотрим на поведение графиков. При малых положительных x, $x^2+1$ примерно равно 1, а $3/x$ очень велико. С ростом x, $x^2+1$ растет быстрее, а $3/x$ убывает. Значит, есть две точки пересечения. **Ответ:** Система имеет два решения.