17. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16. Найдите AD.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то AK * BK = CK * DK. Пусть AD = x. Тогда AK = AB + BK, CK = CD + DK. Но мы знаем, что AB * BK = CD * DK, следовательно (BK * AK) = (DK * CK). У нас есть BK = 18, DK = 9, BC = 16. AK * 18 = CK * 9. По теореме о секущихся, проведённых из одной точки к окружности, имеем: KB * KA = KC * KD 18 * (18 + AB) = 9 * (9 + CD) Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, KA * KB = KC * KD, то есть (KB)(KB + AB) = (KD)(KD + DC). По свойству секущихся KA*KB=KC*KD. KA = KB+AB, KC = KD + DC. KA * KB = (18+AB)*18, KC*KD=(9+DC)*9 18*(18+AB) = 9*(9+DC) 324+18*AB=81+9*DC => 243 + 18*AB = 9*DC => 27 + 2*AB = DC Теперь используем теорему о секущихся KA*KB = KC*KD: (BK)(BA+AK) = (DK)(DC+CK). По свойству подобных треугольников ΔKBC ~ ΔKDA, следовательно KB/KD = BC/AD, то есть 18/9 = 16/AD, отсюда AD = 16/2 = 8. Ответ: AD = 8.