1. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий основанию угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°.

Используем соотношения в треугольниках и теорему синусов. Угол, прилежащий к основанию 10 см, равен 45°, противоположный угол равен 60°. Сторона против угла в 45° имеет длину 10 × sin(45°)/sin(75°). Числовое значение вычислим: sin(45°) = √2/2 и sin(75°) = sin(45°+30°) = sin(45°)cos(30°)+cos(45°)sin(30°) = √2/2 × √3/2 + √2/2 × 1/2 = √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4. Поэтому длина стороны равна 10 × (√2/2) / ((√6+√2)/4) = 10 × (2√2) / (√6+√2). Упростим выражение: 20√2 / (√6+√2).