1. На рисунке 136 ∠AOD=90°, ∠OAD = 20°, ∠ OCB = 70°. Докажите, что AD = CB.

Дано: ∠AOD = 90°, ∠OAD = 20°, ∠OCB = 70°. 1. Рассмотрим треугольник AOD. Так как ∠AOD = 90°, то сумма двух других углов равна 90°. Из этого следует, что ∠ADO = 90° - ∠OAD = 90° - 20° = 70°. 2. Рассмотрим треугольник OCB. Из этого следует, что ∠COB = 180° - 90° = 90°. Так как ∠OCB = 70°, то ∠OBC = 90° - ∠OCB = 90° - 70° = 20°. 3. Рассмотрим треугольники AOD и COB. - ∠OAD = ∠OBC = 20° - ∠ADO = ∠OCB = 70° - ∠AOD = ∠COB = 90° Таким образом, треугольники AOD и COB подобны по трем углам. В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, и если есть еще равные углы, то стороны этих треугольников при этих углах равны. 4. Найдем углы AOC и DOB. ∠AOD = 90° по условию. Углы AOD и BOC вертикальны, значит, ∠BOC = 90°. Углы AOC и DOB тоже вертикальны, и ∠AOC + ∠AOD + ∠BOC + ∠BOD = 360°. ∠AOC+∠DOB = 180°. так как AOC = ∠DOB. Значит ∠AOC = ∠DOB = 90°. Из равенства углов ∠AOD = ∠COB = 90° и ∠AOC = ∠DOB = 90° следует что AD и CB перпендикулярны к OD и OC соответственно. Следовательно, AD = CB.