№3. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 12 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Вписанная окружность делит боковую сторону BC на отрезки 12 и 15, считая от вершины B. Это означает, что отрезок от вершины B до точки касания равен 12, а оставшийся отрезок равен 15. Пусть точка касания окружности со стороной BC - точка D, со стороной AC - точка E, со стороной AB - точка F. Тогда BD = 12, DC = 15. Значит, BC = BD + DC = 12 + 15 = 27. Так как AB = BC, то AB = 27. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Значит, AE = AF и CE = CD. Поскольку CD = 15, то CE = 15. AC = AE + CE. Пусть AE = x. Тогда AF = x. Теперь рассмотрим сторону AB. AB = AF + FB. FB = BD = 12. Значит, AB = x + 12. Но мы знаем, что AB = 27, поэтому: x + 12 = 27 x = 27 - 12 x = 15 Значит, AE = 15, и AC = AE + CE = 15 + 15 = 30. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 27 + 27 + 30 = 84. Ответ: 84