6. ∠C = 90°, PC = CM; CA = 8 см Найти: MP.

Пусть ∠CPM = x. Так как PC = CM, треугольник PCM - равнобедренный, и ∠CMP = x. Тогда ∠PCM = 180° - 2x. Угол ∠MCA = 90°- ∠PCM=90-(180-2x)= 2x-90. Рассмотрим треугольник AMC, ∠CAM=90-∠CMA=90-x. ∠A=90-x. Треугольник MAC=90-x. CA = 8 см, а значит: MP = 8 см. Так как PC = CM, а угол C прямой, то ∠CMA = 45°. Треугольник AMC подобен треугольнику APC, потому что они оба прямоугольные. Следовательно ∠A = 45°. Треугольник MPC - равнобедренный, а значит MC=PC=x, тогда $\sqrt{PC^2+CM^2}=\sqrt{2x^2}$ Получим ответ $\frac{8}{\sqrt{2}}$ Ответ: MP = $8\sqrt{2}$