\[\boxed{\mathbf{Применяем\ математику\ }}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[Пусть\ 1 - весь\ забор.\]
\[\frac{1}{8}\ часть - забора\ покрасит\ \]
\[Петя\ за\ 1\ час;\]
\[\frac{1}{10}\ часть - забора\ покрасит\ \]
\[Миша\ за\ 1\ ч.\]
\[1)\ \frac{1}{8} + \frac{1}{10} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} =\]
\[= \frac{9}{40}\ (части) - забора\ \]
\[покрасят\ мальчики\ вместе\ за\ 1\ \]
\[час.\]
\[2)\ \frac{9}{40} \cdot 5 = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}\ (забора) -\]
\[покрасят\ мальчики\ за\ 5\ ч.\]
\[1\frac{1}{8} > 1\]
\[Ответ:успеют.\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[1)\ Пусть\ \text{x\ }кг - масса\ одной\ \]
\[части\ фарфора.\]
\[x\ кг - шпагата;\]
\[3\text{x\ }кг - кварца;\]
\[6x\ кг - каолина.\]
\[x + 3x + 6x = 10x\ (кг) - масса\]
\[\ вазы.\]
\[3x - x = 0,24\]
\[2x = 0,24\]
\[x = 0,12\ (кг) - масса\ одной\ \]
\[части\ фарфора.\]
\[10x = 10 \cdot 0,12 = 1,2\ (кг) -\]
\[масса\ вазы.\]
\[Ответ:1,2\ кг.\]
\[2)\ Пусть\ \text{x\ }т - масса\ одной\ \]
\[части\ сплава.\]
\[x\ т - алюминия;\]
\[2x\ т - цинка;\]
\[18x\ т - магния.\]
\[x + 2x + 18x = 21x\ (т) -\]
\[масса\ сплава.\]
\[18x - 2x = 3,9\]
\[16x = 3,9\]
\[x = 3,9\ :16 = \frac{39}{160}\ (т) - масса\ \]
\[одной\ части\ сплава.\]
\[\frac{39}{160} \cdot 21 = \frac{39 \cdot 21}{160} = \frac{819}{160} =\]
\[= 5\frac{19}{160}\ (т) - масса\ сплава.\]
\[Ответ:5\frac{19}{160}\ т.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[4\ дыни\ разрезать\ на\ 3\ части\ \]
\[каждую - получится\ 12\ \]
\[частей.\]
\[3\ дыни\ разрезать\ на\ 4\ части\ \]
\[каждую - получится\ 12\ \]
\[частей.\]
\[Каждому\ гостю\ дать\ \frac{1}{4}\ часть\ \]
\[одной\ дыни\ и\ \frac{1}{3}\ часть\ другой.\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[1\ сутки = 24\ ч.\]
\[Пусть\ \text{x\ }ч - прошло,\ тогда\ \]
\[1\frac{2}{5}x = \frac{7}{5}\text{x\ }часов - осталось.\]
\[Всего\ в\ сутках\ 24\ ч.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[x + \frac{7}{5}x = 24\]
\[\frac{12}{5}x = 24\]
\[x = 24\ :\frac{12}{5} = 24 \cdot \frac{5}{12}\]
\[x = 10\ (ч) - прошло\ с\ начала\ \]
\[суток.\]
\[Ответ:сейчас\ 10\ ч\ утра.\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[Может.\ При\ условии,\ что\ не\ \]
\[нужно\ возвращаться\ туда,\ \]
\[откуда\ начал\ движение.\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[НОК(200\ ;300) = 600.\]
\[Пусть\ конфет\ каждого\ сорта\ \]
\[на\ 600\ рублей.\]
\[1)\ 600\ :200 = 3\ (кг) - конфет\ \]
\[по\ 200\ р.\]
\[2)\ 600\ :300 = 2\ (кг) - конфет\ \]
\[по\ 300\ р.\]
\[3)\ 3 \cdot 200 + 2 \cdot 300 =\]
\[= 1200\ (рублей) - стоимость\ \]
\[всех\ конфет.\]
\[4)\ 1200\ :5 = 240\ (рублей) -\]
\[цена\ смеси\ конфет.\]
\[Ответ:240\ рублей.\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[1)\ 250\ :3 \cdot 8 = \frac{2000}{3} =\]
\[= 666\frac{2}{3}\ (мг) - молока.\]
\[2)\ 8 \cdot 15\ :3 \cdot 8 = 320\ (г) -\]
\[мороженого.\]
\[3)\ 15\ :3 \cdot 8 = 40\ (г)\ \]
\[или\ \]
\[2 \cdot 40 = 80\ (г) - или\ варенья,\ \]
\[или\ меда,\ или\ сиропа.\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[1)\ 5,7 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5,7 \cdot 5}{16} = \frac{28,5}{16} =\]
\[= \frac{285}{160} = \frac{57}{32} = 1\frac{25}{32}\ (млн\ р.) -\]
\[на\ ремонт\ школ\ и\ детских\ \]
\[садов.\]
\[2)\ 5,7 \cdot \frac{3}{16} = \frac{57 \cdot 3}{10 \cdot 16} = \frac{171}{160} =\]
\[= 1\frac{11}{160} = 1,06875\ млн\ руб. =\]
\[= 1\ 068\ 750\ (р.) - на\ отдых\ \]
\[детей.\]
\[3)\ 1\frac{11}{160} \cdot 2 = \frac{171}{160} \cdot 2 = \frac{171}{80} =\]
\[= 2\frac{11}{80} = 2,\ 1375\ млн\ руб. =\]
\[= 2\ 137\ 500\ (рублей) - на\ \]
\[ремонт\ больниц.\]
\[4)\ 5\frac{7^{\backslash 16}}{10} - 1\frac{25^{\backslash 5}}{32} - 1\frac{11}{160} - 2\frac{11^{\backslash 2}}{80} =\]
\[= 5\frac{112}{160} - 1\ \frac{125}{160} - 1\frac{11}{160} - 2\frac{22}{160} =\]
\[= 4\frac{272}{160} - 1\ \frac{125}{160} - 1\frac{11}{160} - 2\frac{22}{160} =\]
\[= \frac{272 - 125 - 11 - 22}{160} =\]
\[= \frac{114}{160} = 0,7125\ (млн\ р.) =\]
\[= 712\ 500\ (рублей) - на\ \]
\[ремонт\ стадиона.\]
\[Ответ:1\ 068\ 750\ р.;712\ 500\ р.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[1)\ 17 \cdot \frac{2}{5} + 17 \cdot \frac{1}{40} =\]
\[= 17 \cdot \left( \frac{16}{40} + \frac{1}{40} \right) = 17 \cdot \frac{17}{40} =\]
\[= \frac{289}{40} = 7\frac{9}{40}\ (кг) =\]
\[= 7\ \frac{225}{1000}\ кг = 7\ кг\ 225\ г -\]
\[масса\ всех\ наборов\ для\ \]
\[рисования.\]
\[2)\ Получится\ 3\ бандероли\ по\ \ \]
\[2\ кг\ и\ 2\ бандероли\ по\ 600\ г.\]
\[7225 - 7200 = 25\ (г) -\]
\[дополнительно.\]
\[3)\ 7200\ :100 \cdot 48 + 25 \cdot 3,6 =\]
\[= 3456 + 90 = 3546\ (р) -\]
\[наименьшая\ сумма\ за\ \]
\[отправку\ бандероли.\]
\[Ответ:\ \ 3546\ рублей.\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[Диагональ\ моего\ телевизора\ \]
\[равна\ 40\ дюймов.\]
\[S = 40\ :\frac{5}{8} = 40 \cdot \frac{8}{5} = 8 \cdot 8 =\]
\[= 64\ дюйма \approx 160\ см =\]
\[= 1\ м\ 60\ см.\]
\[Ответ:примерно\ 1\ м\ 60\ см.\]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[Так\ как\ все\ сыновья\ получили\ \]
\[поровну,\ то\ восьмая\ часть\ \]
\[каждого\ нового\ остатка\ была\ \]
\[на\ 1000\ рублей\ меньше\ \]
\[восьмой\ части\ предыдущего\ \]
\[остатка,\ а,\ значит,\ весь\ новый\ \]
\[остаток\ был\ на\ 8000\ рублей\ \]
\[меньше\ предыдущего.\ Так\ как\ \]
\[по\ условию\ все\ деньги\ были\ \]
\[поделены\ полностью,\ то,\ когда\ \]
\[младший\ сын\ получил\ по\ \]
\[завещанию,\ кроме\ нескольких\ \]
\[тысяч\ рублей,\ ещё\ восьмую\ \]
\[часть\ остатка,\ этого\ остатка\ \]
\[не\ оказалось.\ Но\ тогда\ \]
\[предыдущий\ остаток\ 8000\ \]
\[рублей.\ Из\ него\ \]
\[предпоследний\ сын\ получил\ \]
\[восьмую\ часть,\ равную\ 1000\ \]
\[рублей,\ а\ остальные\ 7000\ \]
\[рублей\ получил\ младший\ сын,\ \]
\[который,\ таким\ образом,\ был\ \]
\[седьмым\ сыном:\ сыновей\ \]
\[было\ семь,\ а\ завещанная\ \]
\[сумма\ 49\ 000\ рублей.\]
\[Ответ:7\ сыновей,\ \]
\[49\ 000\ рублей.\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[1 - весь\ возраст.\]
\[\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{7} + \frac{1}{2} =\]
\[= \frac{14}{84} + \frac{7}{84} + \frac{12}{84} + \frac{42}{84} =\]
\[= \frac{75}{84}\ (частей).\]
\[1 - \frac{75}{84} = \frac{9}{84}\ (частей) -\]
\[осталось.\]
\[5 + 4 = 9\ (лет).\]
\[Так\ как\ 9\ лет\ приходится\ на\]
\[\ \frac{9}{84}\ \ часть,\ то:\]
\[9\ :\frac{9}{84} = 9 \cdot \frac{84}{9} = 84\ (года) -\]
\[прожил\ Диофант.\]
\[Ответ:84\ года.\]
\[\boxed{\mathbf{13.}}\]
\[Если\ большой\ луг\ полдня\ \]
\[косила\ вся\ артель\ и\ полдня -\]
\[половина\ артели,\ то\ за\ полдня\ \]
\[половина\ артели\ скашивает\ \]
\[\frac{1}{3}\ часть\ луга.\]
\[На\ малом\ лугу\ остался\ \]
\[нескошенным\ участок:\]
\[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.\]
\[Если\ один\ человек\ скашивает\ \]
\[в\ день\ \frac{1}{6}\ луга,\ а\ скошено\ \]
\[было:\]
\[1 + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{8}{6}\ (луга) - то\ \]
\[получаем,\ что\ косцов\ было\ 8.\]
\[Ответ:8\ косцов.\]
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[Работник\ недоработал\ у\ \]
\[хозяина:\ \]
\[12 - 7 = 5\ (месяцев) - и\ \]
\[недополучил\ 7\ рублей.\]
\[Значит,\ ежемесячная\ плата\ в\ \]
\[рублях\ равна:\]
\[7\ :5 = 1,4\ (рубля).\]
\[Плата\ за\ 7\ месяцев\ составит:\]
\[7 \cdot 1,4 = 9,8\ (рублей).\]
\[Но\ работник\ за\ это\ время\ \]
\[получил\ 5\ рублей\ и\ кафтан.\]
\[Следовательно,\ кафтан\ стоит:\]
\[9,8 - 5 = 4,8\ р. = 4\ р.\ 80\ к.\]
\[Ответ:4\ р.\ 80\ к.\]
\[\boxed{\mathbf{15.}}\]
\[1)\ 5 + \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}\ (лошади) -\]
\[половина\ остатка\ после\ \]
\[второго\ казака.\]
\[2)\ 5\frac{1}{2} \cdot 2 = 11\ (лошадей) -\]
\[остаток\ после\ второго\ казака.\]
\[3)\ 11 - 5 = 6\ (лошадей) -\]
\[досталось\ третьему\ казаку.\]
\[4)\ 11 + \frac{1}{2} = 11\frac{1}{2}\ (лошади) -\]
\[половина\ остатка\ после\ \]
\[первого\ казака.\]
\[5)\ 11\frac{1}{2} \cdot 2 = 23\ (лошади) -\]
\[остаток\ после\ первого\ казака.\]
\[6)\ 23 - 11 = 12\ (лошадей) -\]
\[досталось\ второму\ казаку.\]
\[7)\ 23 + \frac{1}{2} = 23\frac{1}{2}\ (лошади) -\]
\[половина\ табуна.\]
\[8)\ 23\frac{1}{2} \cdot 2 = 47\ (лошадей) -\]
\[было\ у\ табунщика.\]
\[9)\ 47 - 23 = 24\ (лошади) -\]
\[досталось\ первому\ казаку.\]
\[Ответ:24\ лошади,\ 12\ лошадей,\ \]
\[6\ лошадей.\]
\[\boxed{\mathbf{16.}}\]
\[1,5 \cdot 2,5 = 3,75\ \left( \frac{км}{ч} \right) -\]
\[скорость\ спуска\ с\ горы.\]
\[1)\ 5,4\ :1,5 + 5,4\ :3,75 =\]
\[= 54\ :15 + 540\ :375 =\]
\[= 3,6 + 1,44 = 5,04\ (ч) -\]
\[время\ на\ дорогу\ туда\ и\ \]
\[обратно,\ если\ идти\ пешком.\]
\[2)\ 2 \cdot \frac{1}{16} + 2\ :1,5 + 2\ :3,75 =\]
\[= \frac{1}{8} + \frac{20}{15} + \frac{200}{375} =\]
\[= \frac{1^{\backslash 15}}{8} + \frac{4^{\backslash 40}}{3} + \frac{8^{\backslash 8}}{15} =\]
\[= \frac{15}{120} + \frac{160}{120} + \frac{64}{120} = \frac{239}{120} =\]
\[= 1\frac{119}{120}\ \approx 3\ (ч) - займет\ \]
\[дорога\ \ туда\ и\ обратно,если\ \]
\[воспользоваться\ вагончиками.\]
\[Плюс\ время\ на\ ожидание,\]
\[\ итого\ примерно\ 3,5\ часа.\]
\[Второй\ вариант\ быстрее,\ \]
\[оставшееся\ время\ можно\ \]
\[будет\ потратить\ на\ то,\ чтобы\ \]
\[поесть,\ полюбоваться\ видами\ \]
\[и\ отдохнуть.\]