Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 891
Задание 891
\[\boxed{\mathbf{891.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AE,\ BE - биссектрисы;\]
\[E \in CD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[CD = BC + AD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ MK \parallel AB,\ M \in AD,\]
\[K \in BC,\ E \in MK.\]
\[2)\ \angle MEA = \frac{1}{2}\angle A\ \]
\[(как\ накрестлежащие):\]
\[\mathrm{\Delta}AME - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ ME = MA.\]
\[3)\ \angle KEB =\]
\[= \frac{1}{2}\angle B\ (как\ накрестлежащие):\]
\[\mathrm{\Delta}BKE - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow KE = KB.\]
\[4)\ ABCD - вписанный\ \]
\[четырехугольник:\]
\[\angle AME = 180{^\circ} - 2 \bullet \frac{1}{2}\angle A =\]
\[= 180{^\circ} - \angle A = \angle C.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}DME\sim\mathrm{\Delta}KCE\ \]
\[(по\ двум\ углам).\]
\[6)\ E - точка\ пересечения\ \]
\[биссектрис,\ она\ равноудалена\ \]
\[от\ \text{AD\ }и\ BC:\ \]
\[в\ \mathrm{\Delta}\text{DME\ }и\ \mathrm{\Delta}KCE\ высоты\ равны;\]
\[\mathrm{\Delta}DME = \mathrm{\Delta}KCE\]
\[Отсюда:\]
\[DE = KE;\ \]
\[ME = CE;\ \]
\[DM = KC.\]
\[7)\ CD = CE + DE = ME + KE =\]
\[= MA + BK =\]
\[= (AD + DM) + (BC - KC) =\]
\[= AD + BC + (DM - KC) =\]
\[= AD + BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{891.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ точки\ A_{1};B_{1};C_{1}\ \]
\[принадлежат\ одной\ прямой\ \text{a.}\]
\[Опустим\ из\ вершин\ \]
\[треугольника\ ABC\ \]
\[перпендикуляры\ AA^{'};BB^{'};CC^{'}\]
\[на\ эту\ прямую.\]
\[⊿AC_{1}A'\ подобен\ ⊿BC_{1}B':\]
\[\frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AA'}{BB'}.\]
\[Аналогичным\ образом\ \]
\[доказывается,\ что\]
\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{BB^{'}}{CC^{'}};\ \ \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = \frac{CC^{'}}{AA^{'}}.\]
\[Перемножив\ равенства,\]
\[\ получим:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
