Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 867
Задание 867
\[\boxed{\mathbf{867.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BM - медиана;\]
\[D \in BM;\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{DM}} = \frac{1}{2};\]
\[K = AD \cap BC.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\frac{S_{\text{ABK}}}{S_{\text{ABC}}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[Проведем\ прямую\ \]
\[ME \parallel AK,\ E \in BC\]
\[1)\ Для\ \mathrm{\Delta}AKC\ ME - средняя\ \]
\[линия:\]
\[ME \parallel AK\ и\ AM = MC;\]
\[KE = EC.\]
\[2)\ По\ теореме\ Фалеса\ для\ \]
\[\angle MBC:\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{DM}} = \frac{\text{BK}}{\text{KE}} = \frac{1}{2};\]
\[BK\ :KE\ :EC = 1\ :2\ :2 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow BK = \frac{1}{5}\text{BC.}\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABK\ имеет\ в\ 5\ раз\ меньшее\ \]
\[основание\ и\ ту\ же\ высоту,\ что\ и\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.\ }\]
\[Поэтому:\]
\[\frac{S_{\text{ABK}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{1}{5}.\]
\[\mathbf{Ответ:}\frac{1}{5}.\]
\[\boxed{\mathbf{867.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;AB = BC;\]
\[D \in AC;AD = DC;\]
\[DH\bot BC;M \in DH;\]
\[DM = MH.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[M\bot AH.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ высоту\ \text{AE\ }\]
\[к\ стороне\ \text{BC}:\]
\[AE \parallel DH;\ \ \angle C - общий \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}AEC\sim DHC.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}DCH - по\ двум\ \]
\[углам:\ \]
\[\angle CHD = \angle CDB = 90{^\circ};\ \]
\[\angle C - общий.\ \]
\[\mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}BDH - по\ двум\ углам:\ \]
\[\angle BHD = \angle BDC = 90{^\circ};\ \ \]
\[\angle B - общий.\]
\[Отсюда:\]
\[\mathrm{\Delta}DCH\sim\mathrm{\Delta}BDH;\ \ \ \ \]
\[\mathrm{\Delta}AEC\sim\mathrm{\Delta}DHC\sim\mathrm{\Delta}BDH.\]
\[3)\ \text{AH\ }и\ BM - сходственные\ \]
\[медианы:\]
\[\mathrm{\Delta}AEH\sim\mathrm{\Delta}BHM.\]
\[4)\ Допустим,\ что\ \angle EHA =\]
\[= \angle BMH = \alpha:\ \]
\[\angle EAH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha.\]
\[5)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]
\[BOH:\]
\[\angle OBH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha;\ \ \]
\[\angle BHO = \angle EHA = \alpha.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
