Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 864
Задание 864
\[\boxed{\mathbf{864.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[D,\ E,\ F - середины\ высот\ и\ \]
\[лежат\ на\ одной\ прямой.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[⊿ABC - прямоугольный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Докажем\ обратное\ \]
\[утверждение:\ только\ в\ \]
\[прямоугольном\ \ треугольнике\ \]
\[середины\ высот\ лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой.\]
\[Треугольник\ \text{ABC} -\]
\[прямоугольный;\ \ \angle C = \ 90{^\circ}.\]
\[Докажем,\ что\ середины\ его\ \]
\[высот\ лежат\ на\ одной\ прямой.\ \]
\[Катеты\ прямоугольного\ \]
\[треугольника\ являются\ двумя\ \]
\[его\ высотами,\ отметим\ их\ \]
\[середины:\ \]
\[\text{AD}\ = \ \text{DC},\ \text{CE} = \ \text{EB.}\ \]
\[2)\ Проведем\ третью\ высоту\ к\ \]
\[гипотенузе\ CH\bot AB\ и\ отметим\ \ \]
\[её\ середину\ \text{CF}\ = \ \text{FH}.\]
\[3)\ По\ построению\ \]
\[DE - \ средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\]
\[геометрическое\ место\ середин\ \]
\[всех\ отрезков,\ соединяющих\]
\[вершину\ \text{C\ }с\ любой\ точкой\ на\ \]
\[гипотенузе\ AB \Longrightarrow \ F \in DE.\]
\[4)\ Рассмотрим\ не\ \]
\[прямоугольный\ \]
\[треугольник\ ABC.\]
\[Середины\ его\ высот\ \]
\[принадлежат\ трем\ различным\ \]
\[средним\ линиям.\ \]
\[По\ доказанному\ в\ задаче\ 863,\]
\[они\ \ не\ лежат\ на\ одной\ прямой.\]
\[Таким\ образом,\ только\ в\ \]
\[прямоугольном\ треугольнике\ \]
\[середины\ высот\ лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой.\ \]
\[5)\ Перейдем\ к\ доказательству\ \]
\[прямого\ утверждения.\ \]
\[Дано:\ середины\ высот\ лежат\ \]
\[на\ одной\ прямой.\]
\[Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\ не\ \]
\[прямоугольный,\ тогда,\ как\ \]
\[было\ показано\ выше,\ середины\ \]
\[высот\ не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\ \]
\[Но\ это\ противоречит\ условию.\]
\[Значит,\ наше\ допущение\ \]
\[неверно:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC\ - \ прямоугольный.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{864.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\angle C = 90{^\circ};\ \]
\[ABDF - квадрат;\]
\[O = AD \cap BE;\ \]
\[AC + BC = a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[OC - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Проведем\ перпендикуляры\ \]
\[из\ точки\ O:\]
\[OM\bot CB;\ \ OK\bot AC.\]
\[2)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{AOK\ }и\ \text{BOM.}\]
\[OA = OB - диагональ\ \]
\[квадрата;\]
\[\angle AKO = \angle BMO = 90{^\circ};\]
\[AO\bot OB;\ \ KO\bot OM;\ \]
\[\ \angle AOK = \angle BOM.\ \]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AOK = \mathrm{\Delta}BOM -\]
\[по\ гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[AK = BM;\ \ AC + BC =\]
\[= AC + CM = a;\]
\[OK = OM;\ \ \]
\[CKOM - квадрат.\ \]
\[Отсюда:\]
\[KC = CM = \frac{a}{2}.\]
\[4)\ OC - диагональ\ квадрата\ \]
\[\text{CKOM}:\]
\[OC = KC \bullet \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[Ответ:\ \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
