Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 847
Задание 847
\[\boxed{\mathbf{847.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - правильный\ \]
\[пятиугольник;\]
\[F = AD \cap BE.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE;\]
\[\textbf{б)}\frac{\text{DA}}{\text{DF}} = \frac{\text{DF}}{\text{AF}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Найдем\ сумму\ углов\ \]
\[пятиугольника:\]
\[S_{5} = (5 - 2) \bullet 180 = 540{^\circ}.\]
\[2)\ Найдем\ величину\ угла\ этого\ \]
\[пятиугольника:\]
\[\alpha = \frac{S_{5}}{5} = \frac{540}{5} = 108{^\circ}.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AED - равнобедренный\ \]
\[(AE = ED):\]
\[углы\ при\ основании\ \text{AD\ }равны.\]
\[Получаем:\]
\[\angle AED = 108{^\circ};\ \ \]
\[\angle DAE = \angle ADE =\]
\[= \frac{1}{2} \bullet (180 - 108) = 36{^\circ}.\ \]
\[4)\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE - по\ первому\ \]
\[признаку\ подобия:\]
\[\angle FAE = \angle DAE = 36{^\circ};\ \ \]
\[\angle FEA = \angle BEA = 36{^\circ}.\]
\[\textbf{б)}\ Из\ подобия\ треугольников:\]
\[k = \frac{\text{AE}}{\text{AF}} = \frac{\text{DA}}{\text{AE}} \Longrightarrow DA \bullet AF = AE^{2}\text{.\ }\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}DFE:\]
\[\angle DFE = 180 - \angle AFE =\]
\[= 180 - 108 = 72{^\circ};\]
\[\angle FDE = 36{^\circ}.\ \]
\[Получаем:\ \]
\[\angle DEF = 180 - (72 + 36) =\]
\[= 72{^\circ} = \angle DFE;\]
\[\mathrm{\Delta}DFE - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow DF = FE.\]
\[2)\ DE - сторона\ \]
\[пятиугольника \Longrightarrow DE = AE.\ \]
\[\ Отсюда:\]
\[DF = AE;\ \]
\[DA \bullet AF = DF^{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{847.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[\text{AD} \parallel BC;\ \ \]
\[O = AC \cap BD;\]
\[S_{\text{BOC}} = S_{1};\]
\[S_{\text{AOD}} = S_{2}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ AB \parallel CD;\ \ BD - секущая:\ \]
\[\ \angle CBO =\]
\[= \angle ADO\ (накрест\ лежащие).\]
\[\mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA - по\ двум\ углам:\]
\[\angle BOC =\]
\[= \angle DOA\ (как\ вертикальные).\]
\[2)\ Коэффициент\ подобия\ \]
\[треугольников:\]
\[k^{2} = \frac{S_{\text{BOC}}}{S_{\text{AOD}}} = \frac{S_{1}}{S_{2}} \Longrightarrow k = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}}.\]
\[\frac{S_{\text{DAO}}}{S_{\text{DCO}}} = \frac{\text{AO}}{\text{CO}} = \frac{1}{k}\]
\[S_{\text{DAC}} = S_{\text{DAO}} + S_{\text{DCO}} =\]
\[= S_{\text{DAO}} + k \bullet S_{\text{DAO}} = (1 + k) \bullet S_{2}.\]
\[\frac{S_{\text{BAO}}}{S_{\text{BCO}}} = \frac{\text{AO}}{\text{CO}} = \frac{1}{k}\]
\[S_{\text{BAC}} = S_{\text{BAO}} + S_{\text{BCO}} =\]
\[= \frac{S_{\text{BCO}}}{k} + S_{\text{BCO}} = \left( \frac{1}{k} + 1 \right) \bullet S_{1}.\]
\[3)\ Получаем:\]
\[S_{\text{ABCD}} = S_{\text{DAC}} + S_{\text{BAC}} =\]
\[= (1 + k) \bullet S_{2} + \left( \frac{1}{k} + 1 \right) \bullet S_{1} =\]
\[= S_{2} + \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}} \bullet S_{2} + \sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}} \bullet S_{1} + S_{1} =\]
\[= S_{1} + 2\sqrt{S_{1}S_{2}} + S_{2} =\]
\[= \left( \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \right)^{2}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = \left( \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \right)^{2}.\]
