Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 842
Задание 842
\[\boxed{\mathbf{842.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[O = AC \cap BD;\]
\[O \in MK;M \in AB;\]
\[K \in CD;KT \parallel AB;\]
\[T = KT \cap BD;\]
\[ME \parallel CD;\ \]
\[E = ME \cap AC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BE \parallel CT.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}KTO\sim\mathrm{\Delta}MBO - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[KTO\ и\ MBO:\]
\[\angle KTO =\]
\[= \angle MOB\ \ (равны\ как\ вертикальные);\]
\[KT \parallel AB;\ \ M \in AB;\]
\[BD - секущая \Longrightarrow \angle KTO =\]
\[= \angle MBO - как\ накрест\ \]
\[лежащие;\]
\[Следовательно:\ \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}}.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}KCO\sim\mathrm{\Delta}MEO - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle KOC =\]
\[= \angle MOE\ (как\ вертикальные);\]
\[ME \parallel CD;\ \ K \in CD;\ \ \]
\[AC - секущая \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle KCO =\]
\[= \angle MEO\ (как\ накрест\ лежащие).\]
\[Отсюда:\ \ \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}}\text{.\ }\]
\[Вывод:две\ пары\ \]
\[треугольников\ подобны,\ \]
\[имеют\ один\ и\ тот\ же\ \]
\[коэффициент.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}COT\sim\mathrm{\Delta}EOB - по\ третьему\ \]
\[признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\]
\[\mathrm{\Delta}KTO\sim\mathrm{\Delta}MBO \Longrightarrow \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}};\ \ \]
\[\frac{\text{NO}}{\text{BO}} = k;\]
\[\mathrm{\Delta}KCO\sim\mathrm{\Delta}MEO \Longrightarrow k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}};\]
\[\ \frac{\text{CO}}{\text{EO}} = k;\]
\[\angle COT =\]
\[= \angle EOB\ (как\ вертикальные).\]
\[Следовательно:\ \ \]
\[\angle CTO = \angle EBO;\ \]
\[\ так\ как\ \text{BD} - секущая\ \ при\ \ \]
\[\text{BE} \parallel \text{CT.}\ \]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{842.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[M \in AC;M \in PR;\]
\[PR \parallel AD;\ \]
\[M \in QT;QT \parallel AB;\]
\[P \in AB;Q \in BC;\]
\[R \in CD;T \in AD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{MPBQ}} = S_{\text{MRDT}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ перпендикуляры:\ \]
\[EF\bot AD;M \in EF;E \in BC;\]
\[F \in AD.\ \]
\[CH\bot AB;M \in GH;G \in AB;\]
\[H \in CD.\]
\[2)\ Обозначим:\]
\[PB = MQ = a;\ \]
\[PM = BQ = b;\]
\[TM = DR = c;\]
\[MR = TD = d;\]
\[ME = h_{1};\ \ MF = h_{2};\ \ \]
\[MG = g_{1};MH = g_{2}.\]
\[3)\ S_{\text{MPBQ}} = BQ \bullet ME = BP \bullet MG;\ \]
\[\text{\ b}h_{1} = ag_{1}.\]
\[S_{\text{MRDT}} = TD \bullet MF = DR \bullet MH;\ \ \]
\[\text{\ d}h_{2} = cg_{2}.\]
\[4)\ S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{MPBQ}} = bh_{1} \bullet ag_{1} =\]
\[= ah_{1} \bullet bg_{1} = S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{APMT}};\]
\[S_{\text{MPDT}} \bullet S_{\text{MPDT}} = dh_{2} \bullet cg_{2} =\]
\[= dg_{2} \bullet ch_{2} = S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{APMT}}.\]
\[Откуда:\]
\[S_{\text{MPBQ}}^{2} = S_{\text{MRDT}}^{2}\text{\ \ \ \ }\]
\[S_{\text{MPBQ}} = S_{\text{MRDT}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
