Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 829
Задание 829
\[\boxed{\mathbf{829.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[M \in AC;M \in PR;\]
\[PR \parallel AD;\ \]
\[M \in QT;QT \parallel AB;\]
\[P \in AB;Q \in BC;\]
\[R \in CD;T \in AD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{MPBQ}} = S_{\text{MRDT}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ перпендикуляры:\ \]
\[EF\bot AD;M \in EF;E \in BC;\]
\[F \in AD.\ \]
\[CH\bot AB;M \in GH;G \in AB;\]
\[H \in CD.\]
\[2)\ Обозначим:\]
\[PB = MQ = a;\ \]
\[PM = BQ = b;\]
\[TM = DR = c;\]
\[MR = TD = d;\]
\[ME = h_{1};\ \ MF = h_{2};\ \ \]
\[MG = g_{1};MH = g_{2}.\]
\[3)\ S_{\text{MPBQ}} = BQ \bullet ME = BP \bullet MG;\ \ \]
\[bh_{1} = ag_{1}.\]
\[S_{\text{MRDT}} = TD \bullet MF = DR \bullet MH;\ \ \ \]
\[dh_{2} = cg_{2}.\]
\[4)\ S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{MPBQ}} = bh_{1} \bullet ag_{1} =\]
\[= ah_{1} \bullet bg_{1} = S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{APMT}};\]
\[S_{\text{MPDT}} \bullet S_{\text{MPDT}} = dh_{2} \bullet cg_{2} =\]
\[= dg_{2} \bullet ch_{2} = S_{\text{MPBQ}} \bullet S_{\text{APMT}}.\]
\[Откуда:\]
\[S_{\text{MPBQ}}^{2} = S_{\text{MRDT}}^{2}\text{\ \ \ \ }\]
\[S_{\text{MPBQ}} = S_{\text{MRDT}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{829.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB = BC;\ \]
\[AD - биссектриса;\]
\[DE\bot AD;E \in AC;\]
\[\text{DK}\bot AC;K \in AC;\]
\[\text{BM}\bot AC;M \in AC;\]
\[AE = a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[MK - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ На\ стороне\ треугольника\ \]
\[\text{AB\ }отметим\ точку\ \]
\[F = DE \cap AB.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}FAE - равнобедренный:\]
\[AD - высота\ и\ биссектриса;\]
\[AF = AE = a;\ \]
\[AD - медиана.\]
\[Следовательно:\]
\[FD = DE = \frac{1}{2}\text{FE.}\]
\[3)\ Проведем\ прямую\ \text{GD},\ \]
\[параллельную\ стороне\ \]
\[\text{AC\ }треугольника:\]
\[G = GD \cap AB.\]
\[4)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}FGD\sim\mathrm{\Delta}FAE:\]
\[\frac{\text{CD}}{\text{AE}} = \frac{\text{FD}}{\text{FE}} = \frac{1}{2};\ \]
\[GD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}\text{a.}\]
\[5)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}GBD\sim\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[AB = BC:\]
\[GB = GD.\ \]
\[Следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}GBD - равнобедренный,\ \]
\[основание - \text{GD.}\]
\[6)\ Отметим\ точку\ \]
\[пересечения\ H = GD \cap BM:\]
\[\text{BM}\bot AC;\ \ GD \parallel \ AC \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \text{BH}\bot GD.\]
\[Отсюда:\]
\[BH - высота\ и\ медиана\ \mathrm{\Delta}GBD,\ \]
\[так\ как\ GB = GD.\]
\[GH = HD = \frac{1}{2}GD = \frac{1}{2}\text{a.}\]
\[7)\ Многоугольник\ MHDK -\]
\[параллелограмм:\]
\[\text{BM}\bot AC;\ \ DK\bot AC \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ HM \parallel DK;\]
\[CD \parallel AC \Longrightarrow \ HD \parallel MK.\]
\[Отсюда:\]
\[MK = HD = \frac{1}{4}\text{a.}\]
\[Ответ:MK = \frac{1}{4}\text{a.}\]
