Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 823

 

\[\boxed{\mathbf{823.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[M \in CD;\ \]

\[AK - биссектриса\ \]

\[\angle\text{BAM};\]

\[K \in BC.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AM = BK + DM.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Допустим,\ что\ \angle BAK =\]

\[= \angle KAM = a;\ \angle BAM = 2a.\]

\[\ AB \parallel CD;\ \ AM - секущая,\ то\ \]

\[накрестлежащие\ углы:\]

\[\angle BAM = \angle AMD = 2a.\]

\[2)\ Построим\ биссектрису\ \]

\[\angle\text{AMD},\ а\ затем\ от\ ( \bullet )\text{A\ }начертим\ \]

\[к\ ней\ перпендикуляр.\ \ \]

\[Получим:\]

\[E = AE \cap ME;\ \ \]

\[AE\bot ME;\ \ \]

\[\angle AME = \angle FME = a;\]

\[F = AE \cap CD.\]

\[3)\ Треугольнике\ \text{AMF} -\]

\[равнобедренный:\]

\[ME - \ биссектриса\ и\ высота;\]

\[AF - основание.\ \]

\[Следовательно:\]

\[AM = FM;\ \]

\[\angle MAE = \angle MFE = 90{^\circ} - a.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}BKA = \mathrm{\Delta}DFA - по\ второму\ \]

\[признаку\ равенства\ \]

\[треугольников:\]

\[\angle KBA = \angle FDA = 90{^\circ};\ \ \]

\[AB = AD;\ \ \]

\[\angle BAK = \angle DAF = a.\ \ \]

\[Получаем:\]

\[BK = DF.\]

\[Отсюда:\]

\[AM = FM = FD + DM =\]

\[= BK + DM.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]

\[\boxed{\mathbf{823.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Доказательство.\]

\[Дуги\ AC_{1}\ и\ AB_{1}\ равны,\ так\ как\ \]

\[на\ них\ опираются\ равные\ \]

\[вписанные\ углы:\]

\[\angle ACC_{1} = \angle ABB_{1} - каждый\ \]

\[из\ них\ в\ сумме\ с\ углом\ \text{BAC\ }\]

\[составляет\ 90{^\circ}.\]

\[Следовательно:\]

\[\angle AA_{1}C_{1} = \angle AA_{1}B_{1}.\]

\[Отсюда:\]

\[A_{1}A - биссектриса\ угла\ C_{1}A_{1}B_{1}.\]

\[Аналогично\ доказываем,\ что:\]

\[B_{1}B - биссектриса\ угла\ C_{1}B_{1}A_{1};\]

\[C_{1}C - биссектриса\ угла\ \text{ABC.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]