Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 820
Задание 820
\[\boxed{\mathbf{820.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AD \parallel BC;\ \ \]
\[AD > BC;AB = CD;\]
\[E \in AD;AE = ED;\]
\[F \in BC;BF = FC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[EF\bot AD;EF\bot BC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Продолжим\ лучи\ \text{AB\ }и\ \text{DC\ }до\ \]
\[пересечения,которое\ \]
\[обозначим\ точкой\ \text{M.}\]
\[2)\ Трапеция\ равнобедренная:\]
\[\angle A = \angle D.\ \]
\[Следовательно,\ в\ \]
\[треугольниках\ \text{MBC\ }и\ \text{MAD}\]
\[\ углы\ при\ основании\ будут\ \]
\[равны \Longrightarrow \mathrm{\Delta}MBC\ и\ \mathrm{\Delta}MAD -\]
\[равнобедренные.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}MBC:\]
\[BF = FC;\]
\[MF - медиана,\ так\ как\]
\[MB = MC;\]
\[MF - высота,\ так\ как\ \bot BC.\]
\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}MAD:\]
\[AE = ED;\ \ \]
\[ME - медиана,\ так\ как\ \]
\[MA = MD;\ \]
\[ME - высота,\ так\ как\ ME\bot AD.\]
\[5)\ Докажем,\ что\ точка\ \text{F\ }лежит\ \]
\[на\ отрезке\ \text{ME.\ }\]
\[ME\bot AD;\ \ \]
\[AD \parallel BC \Longrightarrow \ ME\bot BC.\]
\[Значит:\]
\[\ F \in ME;\ \ \ \]
\[через\ точку\ \text{M\ }можно\ провести\ \]
\[только\ один\ перпендикуляр\ \]
\[к\ \text{AD}\text{.\ }\ \]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\mathbf{Обратная\ задача.}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AD \parallel BC;\ \ AD > BC;\]
\[E \in AD;EF\bot AD;\]
\[AE = ED;\]
\[F \in BC;EF\bot BC;\]
\[BF = FC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AB = CD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Так\ как\ в\ треугольнике\ \text{BEC}\]
\[BF = FC = EF - медиана;\]
\[\text{EF}\bot BC = EF - высота;\]
\[то\ \mathrm{\Delta}BEC - равнобедренный,\ \]
\[основание\ \text{BC.}\]
\[Следовательно:\]
\[BE = EC;\]
\[\angle BEF = \angle CEF;\ \ \]
\[\text{ED}\bot AD;\ \]
\[\ \angle BEA = \angle CED.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}BEA = \mathrm{\Delta}CED - по\ первому\ \]
\[признаку\ равенства\ \]
\[треугольников:\]
\[AE = ED;\ \ \]
\[BE = EC;\ \ \]
\[\angle BEA = \angle CED;\]
\[Получаем:\]
\[\mathrm{\Delta}BEA = \mathrm{\Delta}CED.\]
\[Соответствующие\ элементы\ в\ \]
\[равных\ фигурах\ равны:\]
\[AB = CD.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{820.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ ABCD - данный\ \]
\[четырехугольник.\]
\[K;L;M;N - точки\ касания\ его\ \]
\[сторон\ AB;BC;CD;AD\ \]
\[с\ вписанной\ окружностью.\]
\[T - точка\ пересечения\ \]
\[отрезков\ \text{KM\ }и\ NL;\]
\[O - центр\ вписанной\ \]
\[окружности\ \text{ABCD.}\]
\[Пусть\ \angle ADC = \alpha:\]
\[\angle MON = 180{^\circ} - \alpha = \angle ABC;\]
\[\angle KOL = 180{^\circ} - \angle ABC =\]
\[= 180{^\circ} - \alpha.\]
\[Тогда:\]
\[\angle MNT = \frac{\cup MN + \cup KL}{2} =\]
\[= \frac{\angle MON + \angle KOL}{2} = \frac{180}{2} = 90{^\circ}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
