Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 816
Задание 816
\[\boxed{\mathbf{816.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB = BC;\ \]
\[AD - биссектриса;\]
\[DE\bot AD;E \in AC;\]
\[\text{DK}\bot AC;K \in AC;\]
\[\text{BM}\bot AC;M \in AC;\]
\[AE = a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[MK - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ На\ стороне\ треугольника\ \]
\[\text{AB\ }отметим\ точку\ F = DE \cap AB.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}FAE - равнобедренный:\]
\[AD - высота\ и\ биссектриса;\]
\[AF = AE = a;\ \]
\[AD - медиана.\]
\[Следовательно:\]
\[FD = DE = \frac{1}{2}\text{FE.}\]
\[3)\ Проведем\ прямую\ \text{GD},\ \]
\[параллельную\ стороне\ \text{AC\ }\]
\[треугольника:\]
\[G = GD \cap AB.\]
\[4)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}FGD\sim\mathrm{\Delta}FAE:\]
\[\frac{\text{CD}}{\text{AE}} = \frac{\text{FD}}{\text{FE}} = \frac{1}{2};\ \]
\[GD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}\text{a.}\]
\[5)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}GBD\sim\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[AB = BC:\]
\[GB = GD.\ \]
\[Следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}GBD - равнобедренный,\ \]
\[основание - \text{GD.}\]
\[6)\ Отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[H = GD \cap BM:\]
\[\text{BM}\bot AC;\ \ GD \parallel \ AC \Longrightarrow \text{BH}\bot GD.\]
\[Отсюда:\]
\[BH - высота\ и\ медиана\ \mathrm{\Delta}GBD,\ \]
\[так\ как\ GB = GD.\]
\[GH = HD = \frac{1}{2}GD = \frac{1}{2}\text{a.}\]
\[7)\ Многоугольник\ MHDK -\]
\[параллелограмм:\]
\[\text{BM}\bot AC;\ \]
\[\ DK\bot AC \Longrightarrow \ HM \parallel DK;\]
\[CD \parallel AC \Longrightarrow \ HD \parallel MK.\]
\[Отсюда:\]
\[MK = HD = \frac{1}{4}\text{a.}\]
\[Ответ:MK = \frac{1}{4}\text{a.}\]
\[\boxed{\mathbf{816.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AD = a;\]
\[BC = b.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[r - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Так\ как\ ABCD - вписанна\ \]
\[в\ окружность;\ \]
\[ABCD - равнобедренная\ \]
\[трапеция:\]
\[AB = CD.\]
\[2)\ ABCD - трапеция\ \]
\[описанная\ около\ окружности:\]
\[AB + CD = AD + BC = a + b.\]
\[Отсюда:\]
\[AB = \frac{a + b}{2}\text{.\ }\]
\[3)\ Проведем\ высоты\ \text{BE\ }и\ \text{CF.}\]
\[AB = CD\ и\ BE =\]
\[= \text{CF\ }(как\ высоты);\]
\[Отсюда:\]
\[AE = FD = \frac{AD - EF}{2} =\]
\[= \frac{AD - BC}{2} = \frac{a - b}{2}.\]
\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{ABE\ }по\ теореме\ \]
\[Пифагора:\]
\[BE^{2} = AB^{2} - AE^{2} =\]
\[= \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} - \left( \frac{a - b}{2} \right)^{2} =\]
\[= \frac{1}{4} \bullet 4ab = ab.\]
\[Отсюда:\]
\[BE = \sqrt{\text{ab}}.\]
\[6)\ BE = 2r\]
\[r = \frac{1}{2}BE = \frac{\sqrt{\text{ab}}}{2}.\]
\[\mathbf{Ответ}:r = \frac{\sqrt{\text{ab}}}{2}.\]
