Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 723
Задание 723
\[\boxed{\mathbf{723.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[BC,AD - касательные;\]
\[FK - средняя\ линия.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[O \in FK.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ BC - касательная \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow OE\bot BC;\]
\[AD - касательная \Longrightarrow ON\bot AD.\]
\[2)\ AD \parallel BC\ \]
\[(по\ определению\ трапеции):\]
\[EN\bot\text{BC\ }и\ AD;\]
\[O \in EN\ (так\ как\ EN\ диаметр).\]
\[3)\ FK - средняя\ линия\ \]
\[(по\ условию):\]
\[FK \parallel BC \parallel AD\ и\ FK \cap EN = O.\]
\[4)\ FK \parallel BC \parallel AD\ и\ BF = FA \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow EO = ON\ (по\ теореме\ Фалеса):\]
\[O \in FK.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{723.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - ромб;\]
\[M,N,P,Q - середины\ сторон.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MNPQ - прямоугольник.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[M - середина\ AB;\ \]
\[N - середина\ BC \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow MN - средняя\ линия \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow MN \parallel AC\ и\ MN = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ADC:\]
\[P - середина\ DC;\ \]
\[Q - середина\ \text{AD} \Longrightarrow\]
\[PQ - средняя\ линия \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow PQ \parallel AC\ и\ QP = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABD:\]
\[M - середина\ AB;\]
\[Q - середина\ \text{AD} \Longrightarrow\]
\[MQ - средняя\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow MQ \parallel BD\ и\ MQ = \frac{1}{2}\text{BD.}\]
\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BCD:\]
\[N - середина\ BC;\]
\[P - середина\ \text{DC} \Longrightarrow\]
\[NP - средняя\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow NP \parallel BD\ и\ NP = \frac{1}{2}\text{BD.}\]
\[5)\ MN \parallel AC\ и\ PQ \parallel AC:\]
\[\ MN \parallel PQ\ и\ MN = PQ.\]
\[6)\ MQ \parallel BD\ и\ NP \parallel BD:\]
\[MQ \parallel NP\ и\ MQ = NP.\]
\[7)\ ABCD - ромб:\ \]
\[BD\bot AC\ (по\ свойству);\]
\[MN\bot MQ.\]
\[8)\ MN \parallel PQ\ и\ MQ \parallel NP:\]
\[MNPQ - параллелограмм;\]
\[MN\bot PQ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ MNPQ - прямоугольник.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
