Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 624
Задание 624
\[\boxed{\mathbf{624.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AP,\ BO,\ CM - медианы.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{AEM}} = S_{\text{BEM}} =\]
\[S_{\text{AEO}} = S_{\text{COE}} =\]
\[S_{\text{PEC}} = S_{\text{BEP}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AP - медиана \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow BP = PC\ (по\ определению);\]
\[BO - медиана \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ AO = OC\ (по\ определению);\]
\[CM - медиана \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow AM = MB\ (по\ определению);\]
\[2)\ Пусть\ S_{\text{ABC}} = S:\]
\[S_{\text{ABO}} = \frac{1}{2}AO \bullet h;\]
\[\ S_{\text{OBC}} = \frac{1}{2}OC \bullet h\ (h - общая).\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{ABO}} = S_{\text{OBC}} = \frac{S}{2}.\]
\[S_{\text{ABP}} = \frac{1}{2}BP \bullet h;\ \]
\[S_{\text{APC}} = \frac{1}{2}PC \bullet h\ (h - общая).\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{ABP}} = S_{\text{APC}} = \frac{S}{2}.\]
\[S_{\text{AMC}} = \frac{1}{2}AM \bullet h;\]
\[S_{\text{MBC}} = \frac{1}{2}MB \bullet h\ (h - общая).\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{AMC}} = S_{\text{MBC}} = \frac{S}{2}.\]
\[3)\ S_{\text{ABP}} + S_{\text{AMC}} - S_{\text{AME}} + S_{\text{EPC}} =\]
\[= S\]
\[\frac{S}{2} + \frac{S}{2} - S = - S_{\text{EPC}} + S_{\text{AME}}\]
\[S_{\text{AME}} = S_{\text{EPC}}.\]
\[4)\ S_{\text{AEM}} = S_{\text{MBE}}\ \]
\[(общая\ высота;AM = MB),\]
\[S_{\text{EBP}} = S_{\text{EPC}}\ \]
\[(общая\ высота;BP = PC),\]
\[S_{\text{AEO}} = S_{\text{OEC}}\ \]
\[(общая\ высота;AO = OC),\]
\[S_{\text{AME}} = S_{\text{EPC}}.\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{MBE}} = S_{\text{EBP}}\]
\[S_{\text{AEO}} = S_{\text{OEC}} =\]
\[= \frac{S}{2} - \left( S_{\text{AME}} + S_{\text{MEB}} \right) =\]
\[= \frac{S}{2} - \left( S_{\text{EPC}} + S_{\text{EBP}} \right).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{624.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - равнобедренная\ \]
\[трапеция;\]
\[AC\bot BD;\]
\[BH = h.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Дополнительное\ \]
\[построение - FD\bot BF:\]
\[HBFD - прямоугольник.\]
\[2)\ Перенесем\ \text{AC}\ \]
\[параллельным\ переносом,\ \]
\[получим\ HF:\]
\[AC = HF.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}ACD - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle A = \angle D;\]
\[AB = CD;\]
\[AD - общая.\]
\[Соответствующие\ элементы\ \]
\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]
\[AC = BD.\]
\[4)\ Рассмотрим\ BHDF:\]
\[BH\bot HD,\ DF\bot BF;BD = HF;\]
\[HF\bot BD;BHDF - квадрат;\]
\[S_{\text{HBDF}} = h^{2}.\]
\[5)\ S_{\text{ABCD}} = S_{\text{HBFD}} = h^{2}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = h^{2}.\]
