Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 309
Задание 309
\[\boxed{\mathbf{309.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\text{AB} \neq \text{BC} \neq \text{AC}\]
\[AH - высота;\]
\[AD - биссектриса.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle HAD = \frac{\angle B - \angle C}{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \angle BAD = \angle DAC\ \]
\[(так\ как\ AD - биссектриса).\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}HAD -\]
\[прямоугольный:\]
\[\angle HAD = 90{^\circ} - \angle HDA.\]
\[3)\ \angle HDA - внешний\ к\ \mathrm{\Delta}ADC:\]
\[\angle HDA = \angle C + \angle CAD.\]
\[4)\ \angle BAD = \angle DAC;\ \ \]
\[\angle HDA = \angle C + \angle CAD:\]
\[\angle HDA = \angle C + \angle BAD.\]
\[5)\ \angle HAD = 90{^\circ} - \angle HDA;\ \]
\[\angle HDA = \angle C + \angle BAD:\]
\[\ \angle HAD = 90{^\circ} - \angle C - \angle BAD.\]
\[6) + \ \frac{\angle HAD = 90{^\circ} - \angle C - \angle BAD}{\angle HAD = 90{^\circ} - \angle C - \angle CAD}\]
\[2\angle HAD =\]
\[= 180{^\circ} - (2\angle C + \angle BAD + \angle CAD).\]
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}:\]
\[2\angle HAD =\]
\[= \angle A + \angle B + \angle C - 2\angle C - \angle A\]
\[2\angle HAD = \angle B - \angle C\]
\[\angle HAD = \frac{\angle B - \angle C}{2}\text{.\ }\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{309.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AH\bot a;\]
\[HM_{1} = HM_{2}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AM_{1} = AM_{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}M_{1}\text{AH\ }и\ \mathrm{\Delta}M_{2}AH - прямоугольные:\]
\[AH - общий\ катет;\ \]
\[\angle\text{AH}M_{1} = \angle AHM_{2} = 90{^\circ}\ (так\ как\ AH\bot a);\]
\[\text{\ H}M_{1} = HM_{2}\ (по\ условию).\]
\[\mathrm{\Delta}M_{1}AH = \mathrm{\Delta}M_{2}\text{AH\ }(по\ двум\ катетам).\]
\[По\ свойству\ равных\ треугольников:\]
\[AM_{2} = AM_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AH\bot a;\]
\[HM_{1} < HM_{2}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AM_{1} < AM_{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AHM_{1}:\]
\[\angle AM_{1}H - острый\ (так\ как\ AH\bot a).\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AHM_{2}:\]
\[\angle AM_{2}H - острый\ (так\ как\ AH\bot a).\]
\[3)\ По\ свойству\ смежных\ углов:\]
\[\angle AM_{1}M_{2} = 180{^\circ} - \angle AM_{1}\text{H.}\]
\[Отсюда:\]
\[\angle AM_{1}M_{2} - тупой.\]
\[4)\ Следовательно:\ \]
\[AM_{1}\ лежит\ против\ острого\ угла\ \angle AM_{2}M_{1};\]
\[AM_{2}\ лежит\ против\ тупого\ угла\ \angle AM_{1}M_{2}.\]
\[Значит:\ \]
\[AM_{1} < AM_{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
